Question

Из одной точки проведены к окружности наибольшая секущая и касательная. Длина касательной 20 см, а радиус окружности 21 см. Найдите длину секущей.​

Answer 1

Ответ:  50cm

Объяснение:

Наибольшая секущая DC проходит через центр

окружности  О. Докажем это.

Проведем произвольную секущую  DK , не проходящую через центр окружности O.

Из неравенства треугольника DBK   DK<DB+BK

Заметим , что DC =BC+DB

Но BC+DB>DB+BK , так как ВС>BK ( диаметр больше хорды, еоторая не диаметр)

=> DK<BC+DB => DK<DC - что и требовалось доказать.

Остальное решение в файле

Answer 2

Пусть точка, из которой проведены секущая и касательная, называется A. Пусть точка касания касательной с окружностью называется B, а точка основания перпендикуляра, опущенного из точки A на ось симметрии, называется C.

По свойству касательной, отрезок AB является радиусом окружности, проходящим через точку касания. Значит, AB = 21 см.

Пусть точка, в которой секущая пересекает окружность, называется D.

Так как секущая и касательная проведены из одной точки и секущая является наибольшей, то они будут перпендикулярны. Значит, угол BAD – прямой угол.

Также, учитывая, что угол BAC – прямой угол, получаем, что угол BAC = углу BAD.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Применим к нему теорему Пифагора.

AC^2 + BC^2 = AB^2

AC^2 + (20 см)^2 = (21 см)^2

AC^2 + 400 см^2 = 441 см^2

AC^2 = 441 см^2 - 400 см^2

AC^2 = 41 см^2

AC = √(41 см^2) ≈ 6,4 см

Так как угол BAC – прямой, а BC – катет прямоугольного треугольника ABC, то секущая AD будет гипотенузой.

Теперь найдем длину секущей AD, применив теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ACD.

AD^2 = AC^2 + CD^2

AD^2 = (6,4 см)^2 + CD^2

AD^2 ≈ 41 см^2 + CD^2

Так как мы ищем именно длину секущей, а не ее квадрат, а CD – отрезок, являющийся катетом, то имеем:

AD = √(41 см^2 + CD^2)

Учитывая построение, CD будет равно 2 радиусам окружности или 2*21 см = 42 см.

AD ≈ √(41 см^2 + 42 см^2) ≈ √(1685 см^2) ≈ 41 см

Таким образом, длина секущей AD около 41 см.