Question

К окружности с центром О проведена касательная АР, Р- точка касания. \найдите радиус окружности, если ОА= 15, АР=12 Из точки А к окружности с центром О проведены две касательные, К и Р- точки касания. Известно, что угол КАР = 82 градуса. найдите угол РОА К окружности проведены касательные РМ и РН, М и Н - точки касания. Найдите угол НМР, если угол МРН = 40 градусов К окружности с центром в точке О проведена касательная BT Т точка касания . Найдите площадь треугольника BОТ если угол BОТ равен 60 градусов, а радиус окружности равен 2 К окружности с центром О проведена касательные СМ и СN М и N точки касания. Отрезки СО и МN пересекаются в точке А. найдите длину отрезка MN, если СМ = 13, АС = 12 СТАВЛЮ34; БАЛА НАДО РЕШИТЬ КАК МОЖНО БЫСТРЕЙ ЗАВТРА УЖЕ СДАВАТЬ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 1

Треугольник оав прямоугольный щв гипотенуза по теореме пифагора
ов²=ав²+оа²

оа-радиус

25=16+х²
х=3
х=оа=3

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое задание по порядку.

1. Найдем радиус окружности:

Обозначим радиус окружности как \(r\). Также, из условия, мы знаем, что \(OA = 15\) и \(AR = 12\). Касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания.

Треугольник \(OAR\) прямоугольный, поэтому применяя теорему Пифагора:

\[OA^2 + AR^2 = OR^2\]

Подставляем известные значения:

\[15^2 + 12^2 = r^2\]

Решаем уравнение:

\[225 + 144 = r^2\]

\[r^2 = 369\]

\[r = \sqrt{369}\]

Таким образом, радиус окружности \(r = \sqrt{369}\).

2. Найдем угол \(\angle ROA\):

Угол \(\angle KAR\) - внутренний угол между касательной и хордой, поэтому он равен половине угла между касательными в точке касания. Таким образом, \(\angle ROA = 2 \cdot \angle KAR = 2 \cdot 82^\circ = 164^\circ\).

3. Найдем угол \(\angle NMR\):

Угол \(\angle MRN = 180^\circ - \angle MRB = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\).

4. Найдем площадь треугольника \(BOT\):

Площадь треугольника можно найти по формуле \(S = \frac{1}{2} \cdot |BO| \cdot |OT| \cdot \sin(\angle BOT)\). У нас уже известны угол \(\angle BOT = 60^\circ\) и радиус \(|BO| = 2\).

Подставляем значения:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin(60^\circ) = \sqrt{3}\]

5. Найдем длину отрезка \(MN\):

Треугольник \(CMN\) подобен треугольнику \(COA\) по правилу \(AA\) (углы \(CMN\) и \(COA\) сопряжены, и углы \(MCN\) и \(MOA\) также сопряжены).

Используем пропорции:

\[\frac{CM}{CO} = \frac{CN}{CA}\]

Подставляем известные значения:

\[\frac{13}{r} = \frac{CN}{12}\]

Решаем уравнение:

\[CN = \frac{12 \cdot 13}{\sqrt{369}}\]

Таким образом, длина отрезка \(MN\) равна \(\frac{12 \cdot 13}{\sqrt{369}}\).