Question

Пусть ABCDE - правильный пятиугольник и точка О - его центр. Доказать, что сумма векторов OA + OB + OC + OD + OE = 0

Answer 1

Давайте рассмотрим данное утверждение о векторах в правильном пятиугольнике ABCDE с центром O.

В правильном пятиугольнике ABCDE все стороны одинаковой длины, и центр пятиугольника O является точкой пересечения всех диагоналей, а также центром описанной окружности.

Поскольку каждая сторона пятиугольника одинаковой длины, можно заметить, что векторы от центра O к каждой из вершин (OA, OB, OC, OD, OE) будут равны по модулю и направлению, но противоположны по направлению, так как эти векторы направлены от O к вершинам пятиугольника в разные стороны.

Обозначим векторы от центра O к вершинам пятиугольника как \( \vec{OA} \), \( \vec{OB} \), \( \vec{OC} \), \( \vec{OD} \), \( \vec{OE} \).

По свойствам векторов, если \( \vec{OA} \) направлен к точке A, то \( -\vec{OA} \) направлен в противоположную сторону, к центру O. Аналогично для остальных векторов: \( -\vec{OB} \) направлен к O, \( -\vec{OC} \) направлен к O, \( -\vec{OD} \) направлен к O, \( -\vec{OE} \) направлен к O.

Таким образом, если мы сложим все эти векторы, то получим:

\[ \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} + \vec{OE} + (-\vec{OA}) + (-\vec{OB}) + (-\vec{OC}) + (-\vec{OD}) + (-\vec{OE}) = 0 \]

Это происходит потому, что каждый вектор с его противоположным вектором дают в результате нулевой вектор.

Следовательно, сумма всех векторов \( \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} + \vec{OE} \) равна нулевому вектору.