Question

Из точки М к плоскости α проведены две наклонные, длины которых 18 и 2√109. Их проекции на эту плоскость относятся как 3:4. Найдите длины проекций. В ответе укажите меньшую длину.

Answer 1

Ответ:

12 см

Объяснение:

Answer 2

Пусть точка М имеет координаты (x, y, z). Плоскость α задана уравнением Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) - нормальный вектор плоскости.

Проведем две наклонные из точки М к плоскости α, и обозначим их как h1 и h2.

Длины наклонных даны: h1 = 18 и h2 = 2√109.

Пусть P1 и P2 - проекции точки М на плоскость α, и пусть α1 и α2 - углы между наклонными и проекциями на плоскость.

Так как проекции на плоскость относятся как 3:4, то можем записать:

h1 * cos(α1) / h2 * cos(α2) = 3/4

Также из свойства проекции в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза - наклонная, а катеты - проекции, мы можем записать:

h1 * cos(α1) = P1 h2 * cos(α2) = P2

Теперь у нас есть два уравнения:

1. P1 = h1 * cos(α1)
2. P2 = h2 * cos(α2)

Для решения задачи, нам нужно найти P1 и P2. Поэтому сначала найдем углы α1 и α2:

cos(α1) = P1 / h1 cos(α2) = P2 / h2

Теперь подставим значения cos(α1) и cos(α2) в уравнение, которое связывает проекции:

(P1 / h1) / (P2 / h2) = 3/4

Теперь подставим P1 и P2:

(h1 * cos(α1) / h1) / (h2 * cos(α2) / h2) = 3/4

cos(α1) / cos(α2) = 3/4

Теперь, подставив cos(α1) и cos(α2), найдем P1 и P2:

P1 = h1 * (3/4) = 18 * (3/4) = 54/4 = 13.5 P2 = h2 * (4/3) = 2√109 * (4/3) ≈ 25.68

Ответ: Меньшая длина проекции равна 13.5.