Question

Найдите радиус окружности ,описанной вокруг прямоугольного треугольника,вершины которого имеют координаты(10;9),(6;3),(15;-3).

Answer 1

Окружность называется описанной вокруг прямоугольного треугольника, в том случае, если все вершины прямоугольного треугольника лежат на этой окружности. 
Вокруг прямоугольного треугольника можно описать лишь одну окружность. 

Формула для радиуса описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности: 

R = 1/2 * √(a*a + b*b), 

где a,b - стороны треугольника. 

Answer 2

Чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, нам необходимо найти его центр и радиус. Это можно сделать, используя формулу, которая гласит, что центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится в середине гипотенузы, а её радиус равен половине длины гипотенузы.

1. Сначала найдем длины сторон прямоугольного треугольника:

Сторона AB: $\sqrt{(10-6)^2 + (9-3)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

Сторона BC: $\sqrt{(6-15)^2 + (3-(-3))^2} = \sqrt{81 + 36} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}$

Сторона AC (гипотенуза): $\sqrt{(10-15)^2 + (9-(-3))^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$

2. Теперь, используя теорему Пифагора, мы можем убедиться, что треугольник прямоугольный:

$AB^2 + BC^2 = (2\sqrt{13})^2 + (3\sqrt{13})^2 = 4 \cdot 13 + 9 \cdot 13 = 13 \cdot 13 = AC^2$

Таким образом, наш треугольник действительно прямоугольный.

3. Найдем координаты середины гипотенузы (центра окружности), используя координаты вершин треугольника:

Середина гипотенузы M($x_m$, $y_m$):

$x_m = \frac{(10+15)}{2} = \frac{25}{2} = 12.5$ $y_m = \frac{(9+(-3))}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Таким образом, координаты центра окружности равны M(12.5, 3).

4. Радиус окружности равен половине длины гипотенузы, то есть $AC/2 = 13/2 = 6.5$.

Таким образом, радиус описанной окружности вокруг данного прямоугольного треугольника равен 6.5.