Question

В параллелограмме ABCD точка K делит сторону BC в отношении 2:3, считая от В, а точка L делит сторону CD в отношении 2:1 , считая от С. Найти, в каком отношении отрезок АК делит отрезок BL

Answer 1

Решение на фото ниже: 

Answer 2

Обозначим точку пересечения отрезков $AK$ и $BL$ как $M$. Тогда по теореме Менелая для треугольника $ABC$ и прямой $KLM$ имеем:

$\frac{AM}{MK}\cdot\frac{KL}{LB}\cdot\frac{BC}{CA}=1$

Подставим известные значения:

$\frac{AM}{MK}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{2}=1$

$\frac{AM}{MK}=\frac{6}{5}$

Теперь рассмотрим треугольник $ABL$ и прямую $KM$. По теореме Менелая имеем:

$\frac{AK}{KB}\cdot\frac{BM}{ML}\cdot\frac{LH}{HA}=1$

Здесь $H$ - точка пересечения прямой $AK$ с прямой $CD$. Заметим, что $\frac{LH}{HA}=\frac{CL}{AD}=\frac{1}{2}$, так как треугольники $CLD$ и $ABD$ равны по площади, а отношение высот этих треугольников равно отношению соответствующих сторон.

Подставляя известные значения и выражая $\frac{BM}{ML}$ через $\frac{AM}{MK}$, получаем:

$\frac{6}{5}\cdot\frac{BM}{ML}\cdot\frac{1}{2}=1$

$\frac{BM}{ML}=\frac{5}{12}$

Итак, отрезок $AK$ делит отрезок $BL$ в отношении $\boxed{5:7}$.