Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=4x-x^2 и y=3.

Answer 1

Ответ:   $1\frac{1}{3}$ .

Объяснение:

y=4x-x² - парабола, ветви вниз, точки пересечения с ОХ: (0,0) и (4,0) , вершина в  точке (2,4) .

у=3 - прямая, параллельная оси ОХ, проходящая через точку (0,3). Точки пересечения параболы и прямой:

$4x-x^2=3\; \; \to \; \; x^2-4x+3=0\; \; ,\; \; x_1=1\; ,\; x_2=3\; \; (teorema\; Vieta)\\\\\\S=\int\limits^3_1\, (4x-x^2-3)\, dx=(4\cdot \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-3x)\Big |_1^3=\\\\=2\cdot 9-9-9-(2-\frac{1}{3}-3)=0-(-\frac{1}{3}-1)=1\frac{1}{3}$

Answer 2

Графиком первой функции будет парабола, ветвями вниз, второй - прямая, параллельная оси ох, проходящая через точку (0;3)

Площадь фигуры, огранич. этими линиями считаем как определенный интеграл от разности(4х-х²-3). Найдем пределы интегрирования и подставим их в функцию 2х²-х³/3-3х.

4x-x² =3.  4x-x² -3=0 х²-4х+3=0. по теореме, обратной теореме Виета корнями будут  1 и 3. По формуле Ньютона - Лейбница найдем определенный интеграл 2*9-27/3-3*3-(2*1-1/3-3)=3+1/3-2=1 целая 1/3

Answer 3

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций y = 4x - x^2 и y = 3, нам нужно найти точки их пересечения, которые определяют границы этой фигуры. Затем мы можем вычислить определенный интеграл этой области от x-координаты первой точки пересечения до x-координаты второй точки пересечения.

Для нахождения точек пересечения уравнений y = 4x - x^2 и y = 3, мы должны приравнять их друг к другу:

4x - x^2 = 3

Теперь приведем это уравнение к стандартному виду:

x^2 - 4x + 3 = 0

Затем факторизуем это уравнение:

(x - 1)(x - 3) = 0

Отсюда получаем две корни:

x1 = 1 x2 = 3

Теперь у нас есть точки пересечения x = 1 и x = 3, которые будут границами нашей фигуры. Чтобы найти площадь этой фигуры, мы можем вычислить определенный интеграл:

Площадь = ∫[1, 3] (4x - x^2 - 3) dx

Проведем вычисления:

Площадь = [4x^2/2 - x^3/3 - 3x] от 1 до 3 Площадь = [(4 * 3^2/2 - 3^3/3 - 3 * 3) - (4 * 1^2/2 - 1^3/3 - 3 * 1)] Площадь = [(18 - 9 - 9) - (2 - 1/3 - 3)] Площадь = [0 - (-16/3)] Площадь = 16/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4x - x^2 и y = 3, равна 16/3 (площадных единиц).