Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2, y=x+2

Answer 1

Держи.
Ответ: S = 9/2.

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, нужно найти точки их пересечения и определить пределы интегрирования. Затем можно вычислить определенный интеграл функции разности этих двух кривых вдоль оси x.

Дано:

1. Кривая 1: y = x^2
2. Кривая 2: y = x + 2

Первым шагом найдем точки их пересечения. При пересечении двух кривых выполняется условие: y(x^2) = y(x+2)

x^2 = x + 2

Перенесем все в левую сторону:

x^2 - x - 2 = 0

Это квадратное уравнение. Решим его, используя квадратное уравнение или факторизацию:

(x - 2)(x + 1) = 0

Отсюда получаем две точки пересечения:

1. x = 2, y = (2)^2 = 4
2. x = -1, y = (-1)^2 = 1

Теперь определим пределы интегрирования. Найдем точки пересечения проекции этих кривых на ось x:

1. x = -1
2. x = 2

Таким образом, пределы интегрирования будут от -1 до 2.

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры между этими кривыми:

Площадь = ∫(от -1 до 2) [x^2 - (x + 2)] dx

Вычислим интеграл:

Площадь = [x^3/3 - (x^2/2 + 2x)] от -1 до 2

Площадь = [(2^3/3) - (2^2/2 + 22)] - [((-1)^3/3) - ((-1)^2/2 + 2(-1))]

Площадь = [8/3 - (4 + 4)] - [(-1/3) - (1/2 - 2)]

Площадь = [8/3 - 8] - [-1/3 - 3/2]

Площадь = [-16/3] - [-7/6]

Площадь = -16/3 + 7/6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 и y = x + 2, составляет (7/6 - 16/3) = -10/6 = -5/3 (при условии, что фигура находится ниже оси x). Если вы ищете только положительные значения площади, то площадь составит 5/3.