Question

1. Найдите производную функции: y=x+4x^3-5 2.Вычислить cos a, если sin a= корень из 3/3; пи/2 3.Найдите фигуры, ограниченной параболой y=4-x^2 и осью OX 4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=2x, прямыми x=1, x=4, осью ОХ 5. Найдите длину вектора a= 2i-3j-k 6.Найти вторую производную функции =x^5-3x^3+5x-8 7. Точка движется по закону S(t)= x^3+5, найти скорость точки через 2 минуты после начала движения 8.Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=x, прямыми x=2, x=4, осью OX

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Давайте решим каждое задание по порядку:

1. Найдем производную функции y = x + 4x^3 - 5: y' = d/dx (x) + d/dx (4x^3) - d/dx (5) = 1 + 12x^2 - 0 = 12x^2 + 1

2. Дано sin(a) = √3/3 и a = π/2. Найдем cos(a): Известно, что sin^2(a) + cos^2(a) = 1 Заменим sin(a) на известное значение: (√3/3)^2 + cos^2(a) = 1 3/9 + cos^2(a) = 1 cos^2(a) = 1 - 3/9 cos^2(a) = 6/9 cos(a) = ±√(6/9) cos(a) = ±√(2/3)

   Так как угол а находится во второй четверти, cos(a) отрицателен. Таким образом, cos(a) = -√(2/3).

3. Найдем фигуры, ограниченные параболой y = 4 - x^2 и осью OX: Парабола y = 4 - x^2 пересекает ось X в точках, когда y = 0: 4 - x^2 = 0 x^2 = 4 x = ±√4 x = ±2

   Итак, парабола пересекает ось X в точках x = -2 и x = 2. Эти значения задают границы фигуры. Теперь найдем вершину параболы, которая является ее наивысшей точкой. Вершина параболы находится в точке (0, 4).

   Таким образом, фигура ограничена параболой y = 4 - x^2, осью X и вертикальными прямыми x = -2 и x = 2.

4. Найдем площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 2x, прямыми x = 1, x = 4 и осью OX: Фигура представляет собой прямоугольник с основанием длиной 4 - 1 = 3 (от x = 1 до x = 4) и высотой 2x.

   Площадь прямоугольника = длина * ширина = 3 * (2x) = 6x.

5. Найдем длину вектора a = 2i - 3j - k: Длина вектора a вычисляется по формуле: |a| = √(a_x^2 + a_y^2 + a_z^2)

   a_x = 2, a_y = -3, a_z = -1 |a| = √(2^2 + (-3)^2 + (-1)^2) = √(4 + 9 + 1) = √14

   Таким образом, длина вектора a равна √14.

6. Найдем вторую производную функции f(x) = x^5 - 3x^3 + 5x - 8: f'(x) = d/dx(x^5) - d/dx(3x^3) + d/dx(5x) - d/dx(8) = 5x^4 - 9x^2 + 5

   f''(x) = d/dx(5x^4) - d/dx(9x^2) + d/dx(5) = 20x^3 - 18x

7. Дано S(t) = x^3 + 5, и нужно найти скорость точки через 2 минуты после начала движения. Скорость точки соответствует производной S(t) по времени t.

   S'(t) = d/dt(x^3) + d/dt(5) = 3x^2(dx/dt)

   Чтобы найти скорость через 2 минуты (пусть t = 2 минуты), нам нужно знать значение x и dx/dt в этот момент. Однако данной информации в задании нет, поэтому мы не можем точно вычислить скорость.

8. Найдем площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = x, прямыми x = 2 и x = 4 и осью OX: Фигура представляет собой треугольник с основанием длиной 4 - 2 = 2 (от x = 2 до x = 4) и высотой y = x.

   Площадь треугольника = (1/2) * основание * высота = (1/2) * 2 * (x) = x.

   Таким образом, площадь фигуры равна x.