Question

Основанием правильной треугольной пирамиды MABC служит треугольник ABC со стороной 6. Ребро MA перпендикулярно грани MBC. Через вершину пирамиды M и серeдины рёбер AC и BC проведена плоскость α. а ) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью α является равносторонним треугольником. б) Найдите расстояние от вершины C до плоскости α.

Answer 1

a) Пусть Середины ребер AC и BC - Соответственно D и E .

DE - очевидно 3 , поэтому надо доказать что апофемы пирамиды MD и ME тоже равны трем.

Рассмотрим треугольник AME . Он по условию прямоугольный с прямым углом M ( MA перпендикулярно MBC )

Высота MO Проецируется в центр основания ABC ( пирамида правильная  )

AE = 6√3/2 = 3√3

AO=2√3

EO = √3

пусть высота MO - h

тогда по теореме Пифагора

h^2+(√3)^2+h^2+(2√3)^2=(3√3)^2

Откуда h=√6

ME^2 = h^2+3

ME=3

Доказано.

б) Пусть С - начало координат

Ось X - CA

Ось Y  - перпендикулярно X в сторону B

Ось Z - перпендикулярно ABC в сторону M

Координаты Точек

D(3;0;0)

E(3/2;3√3/2;0)

M(3;√3;√6)

Уравнение плоскости DEM

ax+by+cz+d=0 подставляем координаты точек

3a+d=0

3a/2+3√3b/2+d=0

3a+√3b+√6c+d=0

Пусть d= -6 Тогда a=2 b=2/√3 c= - 2/√6

2x+ 2y/√3 - 2z/√6 - 6 =0

k=√ (4+4/3+4/6) = √6

Нормализованное уравнение

2x/√6+ 2y/(√3√6) - 2z/(√6√6) - 6/√6 =0

Расстояние от С (начала координат)   до Плоскости DEM Равно

6/√6 = √6

Answer 2

а) Для доказательства, что сечение пирамиды плоскостью α является равносторонним треугольником, давайте рассмотрим следующие факты:

1. Поскольку треугольник ABC - правильный треугольник со стороной 6, то угол при вершине A равен 60 градусам.

2. Поскольку плоскость α проходит через вершину M и середины рёбер AC и BC, она будет перпендикулярной к этим рёбрам. Таким образом, угол между плоскостью α и плоскостью MBC (основанием пирамиды) также равен 60 градусам.

3. Значит, плоскость α пересекает пирамиду MABC так, что угол между плоскостью α и плоскостью основания MBC равен 60 градусам. Это означает, что сечение пирамиды плоскостью α будет также равносторонним треугольником с углами по 60 градусов.

б) Для нахождения расстояния от вершины C до плоскости α, мы можем использовать следующий подход:

1. Обозначим вершину C как точку C(x, y, z), где x, y и z - её координаты в трехмерном пространстве.

2. Расстояние от точки до плоскости можно найти с помощью формулы:

   D = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2),

   где (A, B, C) - нормаль к плоскости α, а D - расстояние от начала координат до плоскости α.

3. Нормаль к плоскости α будет перпендикулярна плоскости MBC и, следовательно, перпендикулярна вектору MA (так как MA перпендикулярен грани MBC и, следовательно, нормали к этой грани).

4. Так как угол между MA и нормалью к плоскости α равен 60 градусам (как было доказано в пункте (а)), то нормаль к плоскости α может быть представлена как (0, 0, 1), так как MA вертикально вверх относительно MBC.

5. Теперь нам нужно найти расстояние D от начала координат до плоскости α. Так как плоскость α проходит через вершину M, то D равно высоте пирамиды MABC относительно основания MBC.

6. Расстояние от вершины M до середины ребра BC пирамиды MABC равно половине высоты MBC, что равно 3 (половина стороны треугольника ABC).

7. Таким образом, D равно 3, и расстояние от вершины C до плоскости α также равно 3.

Итак, расстояние от вершины C до плоскости α равно 3 единицам.