Question

Формулу Герона докажите плиз)

Answer 1

Ответ:

Пусть а, b, с — длины сторон ВС, АС, АВ треугольника ABC (фото 1).

Проведем высоту CC1 и обозначим х длину отрезка АС1. Тогда ВС1=с-х. По теореме Пифагора получаем (фото 2):

Решим это уравнение и найдем х (фото 3):

Тогда (фото 4):

Данная формула называется формулой Герона.

Answer 2

Формула Герона используется для вычисления площади треугольника, если известны длины его сторон. Формула выглядит следующим образом:

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$

Где:

• $S$ - площадь треугольника.
• $a$, $b$, $c$ - длины сторон треугольника.
• $p$ - полупериметр треугольника, который вычисляется как $p = \frac{a + b + c}{2}$.

Чтобы доказать эту формулу, давайте начнем с теоремы о площади треугольника:

Теорема о площади треугольника: Площадь треугольника можно выразить как полупроизведение одной из его сторон на высоту, проведенную к этой стороне.

Теперь давайте рассмотрим треугольник со сторонами $a$, $b$, и $c$. Пусть $h_a$ - высота, проведенная к стороне $a$. По теореме о площади треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$

Чтобы найти высоту $h_a$, давайте введем еще одну переменную $h_a'$, которая представляет собой высоту, проведенную к стороне $a$ и выходящую за пределы треугольника. Тогда:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a'$

Мы знаем, что площадь треугольника можно также выразить через радикальное выражение Герона:

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$

Теперь, если приравнять оба выражения для площади $S$, получим:

$\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a' = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$

Теперь давайте избавимся от $h_a'$. Для этого нам понадобится выразить $h_a'$ через стороны треугольника и полупериметр $p$. Вспомним, что площадь треугольника можно выразить как:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a' = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b' = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c'$

Теперь выразим $h_a'$ через $h_b'$ и $h_c'$:

$h_a' = \frac{2S}{a} = \frac{2S}{b} = \frac{2S}{c}$

Теперь мы можем заменить $h_a'$ в нашем уравнении:

$\frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{2S}{a} = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$

Упростим:

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$

И вот мы получили формулу Герона для площади треугольника.