Question

В треугольнике ABC точка D лежит на стороне BC, причём угол ADB острый . Докажите что AC больше AD​

Answer 1

Ответ:

Пусть угол ADB=а, тогда смежный с ним угол ADC=180°–a.

Из условия угол ADB – острый, то есть а<90°, значит:

–а>–90°

180°–а>180°–90°

180°–а>90°

То есть угол ADC – тупой.

Рассмотрим ∆CDA.

Так как угол ADC – тупой, то ∆CDA – тупоугольный. В тупоугольном треугольнике один угол тупой, а два других – острые.

Следовательно угол ACD – острый.

Острый угол меньше тупого угла, значит угол ACD<угол ADC.

В треугольнике напротив меньшего угла лежит меньшая сторона. Исходя из этого:

AD<АС.

Доказано.

Answer 2

Для доказательства неравенства AC > AD в треугольнике ABC, где точка D лежит на стороне BC, а угол ADB острый, мы можем воспользоваться неравенством треугольника.

Неравенство треугольника гласит, что в любом треугольнике сумма длин любых двух сторон всегда больше длины третьей стороны.

В нашем случае треугольник ABC имеет стороны AB, BC и CA. Мы хотим доказать, что AC > AD.

Из неравенства треугольника для треугольника ABD (где сторонами являются AB, AD и BD) мы можем записать следующее:

AB + AD > BD ...(1)

Теперь рассмотрим треугольник ADC (где сторонами являются AD, DC и AC). Мы также можем использовать неравенство треугольника для этого треугольника:

AD + DC > AC ...(2)

Мы видим, что в обоих неравенствах (1) и (2) участвует сторона AD. Теперь мы можем объединить эти неравенства:

AB + AD > BD AD + DC > AC

Сложим оба неравенства:

(AB + AD) + (AD + DC) > BD + AC

Теперь мы видим, что левая сторона этого неравенства представляет собой сумму всех трех сторон треугольника ABC:

AB + AD + AD + DC = AB + 2*AD + DC

Итак, у нас есть:

AB + 2*AD + DC > BD + AC

Мы знаем, что AB + BC = AC (по определению треугольника ABC). Таким образом, мы можем заменить AB + BC на AC:

AC + 2*AD > BD + AC

Теперь выразим AC:

AC > BD + AC - 2*AD

Теперь вычитаем AC из обеих сторон:

0 > BD - 2*AD

Теперь добавим 2*AD к обеим сторонам:

2*AD > BD

Теперь разделим обе стороны на 2:

AD > BD/2

Итак, мы доказали, что AD больше, чем половина стороны BD. Так как BD - это часть стороны BC, мы можем заключить, что AD больше, чем половина стороны BC. А так как BC это часть стороны AC, то мы можем заключить, что AD меньше, чем AC.

Таким образом, доказано, что AC больше, чем AD.