Question

Вычислить максимальный объём цилиндра, полная поверхность которого равна 2,8 см². Значение числа π в вычислениях округлить до 3. Сам результат округлить до десятых сантиметра

Answer 1

Ответ:

Максимальный объём цилиндра ≈0,4 см³

Объяснение:

Дано:

Цилиндр

Sполн = 2,8 см²

π ≈ 3

Найти:

V - объём цилиндра

Решение:

Полная поверхность цилиндра

Sполн = 2Sосн + Sбок

Sполн = 2πR² + 2πRh

2πR² + 2πRh = 2.8

или

πR² + πRh = 1.4

Умножим на R

πR³ + πR²h = 1,4R

Объём цилиндра

V = Sосн · h = πR²h

тогда

πR³ + V = 1,4R

или

V = 1.4R - πR³

Производная

V' = 1.4 - 3πR²

V' = 0

1.4 - 3πR² = 0

R² = 1.4 : (3π) ≈ 0.16 (см)

R ≈ 0.4 (см)

При переходе через R = 0.39 cм производная V' меняет знак с + на -, следовательно в точке R≈0.39 cм объём V максимален

V = 1.4R - πR³ = 1.4 · 0.4 - 3 · 0.4³ = 0,368 (см³) ≈ 0,4 cм³

Answer 2

Полная поверхность цилиндра состоит из двух частей: поверхности основания и поверхности боковой поверхности.

Поверхность основания цилиндра - это круг, и ее площадь можно вычислить по формуле $S_{\text{осн}} = \pi r^2$, где $r$ - радиус основания.

Боковая поверхность цилиндра - это прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра, а длина равна окружности основания ($C = 2\pi r$).

Итак, полная поверхность цилиндра составляет:

$S_{\text{полн}} = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}$ $S_{\text{полн}} = 2(\pi r^2) + (2\pi r)h$

У нас есть значение полной поверхности ($S_{\text{полн}} = 2,8 \, \text{см}^2$), и мы хотим найти максимальный объем цилиндра ($V = \pi r^2 h$).

Давайте выразим высоту $h$ из уравнения для боковой поверхности и подставим в формулу для объема:

$h = \frac{S_{\text{полн}} - 2(\pi r^2)}{2\pi r}$

Теперь подставим это значение высоты в формулу для объема и упростим выражение:

$V = \pi r^2 \left(\frac{S_{\text{полн}} - 2(\pi r^2)}{2\pi r}\right)$ $V = \frac{1}{2}r(S_{\text{полн}} - 2\pi r^2)$

Теперь у нас есть выражение для объема цилиндра, зависящее только от радиуса $r$. Чтобы найти максимальный объем, нужно найти максимум этой функции.

Для этого найдем производную этой функции по $r$ и приравняем ее к нулю:

$\frac{dV}{dr} = \frac{1}{2}(S_{\text{полн}} - 4\pi r^2) = 0$

Решив это уравнение относительно $r$, мы можем найти значение радиуса, при котором объем цилиндра максимален. Затем подставим это значение радиуса в формулу для высоты и найдем максимальный объем. Округлим результат до десятых сантиметра, как требуется.

Решение:

$S_{\text{полн}} = 2,8 \, \text{см}^2$

Решаем уравнение $\frac{1}{2}(S_{\text{полн}} - 4\pi r^2) = 0$ относительно $r$:

$S_{\text{полн}} - 4\pi r^2 = 0$ $2,8 - 4\pi r^2 = 0$ $r^2 = \frac{2,8}{4\pi}$ $r^2 = \frac{0,7}{\pi}$ $r^2 \approx 0,223$ $r \approx 0,473 \, \text{см}$

Теперь найдем высоту цилиндра:

$h = \frac{S_{\text{полн}} - 2(\pi r^2)}{2\pi r}$ $h = \frac{2,8 - 2(\pi \times 0,473^2)}{2\pi \times 0,473}$ $h \approx \frac{2,8 - 2(3 \times 0,223^2)}{2 \times 3 \times 0,473}$ $h \approx \frac{2,8 - 2(3 \times 0,0499)}{2 \times 3 \times 0,473}$ $h \approx \frac{2,8 - 2(0,2994)}{2 \times 3 \times 0,473}$ $h \approx \frac{2,8 - 0,5988}{2 \times 3 \times 0,473}$