Question

Известно, что неотрицательные числа a, b, c и d удовлетворяют системе где n - натуральное число. Доказать, что множество, состоящее из чисел a и b, совпадает с множеством, состоящим из чисел c и d.

Answer 1

Решение : ////////////////////////////////

Answer 2

Для доказательства этого утверждения мы можем воспользоваться математической индукцией. Давайте докажем его по индукции для натуральных чисел n.

База индукции: При n = 1 у нас есть следующая система уравнений:

1. a = b
2. c = d

Из этих уравнений видно, что множество {a, b} равно множеству {c, d}, так как каждое из них содержит два равных элемента.

Предположение индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k, т.е., если:

1. a^k = b^k
2. c^k = d^k

то множество {a, b} равно множеству {c, d}.

Шаг индукции: Теперь докажем, что утверждение верно и для k+1. У нас есть система уравнений:

1. a^(k+1) = b^(k+1)
2. c^(k+1) = d^(k+1)

Рассмотрим первое уравнение. Мы можем записать его следующим образом:

a^(k+1) = a^k * a

Из предположения индукции у нас есть a^k = b^k, поэтому:

a^(k+1) = b^k * a

Аналогично для второго уравнения:

c^(k+1) = d^k * c

Теперь мы видим, что в обоих уравнениях есть произведения a и c, и b и d, которые мы можем записать как:

a^(k+1) = b^k * a c^(k+1) = d^k * c

Так как мы предположили, что утверждение верно для k (из предположения индукции), то множество {a^k, b^k} равно множеству {c^k, d^k}.

Теперь мы видим, что множество {a^(k+1), b^(k+1)} равно множеству {c^(k+1), d^(k+1)}, так как оно состоит из произведений чисел, которые равны по предположению индукции.

Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для некоторого натурального числа k, то оно верно и для k+1. И, следовательно, оно верно для всех натуральных чисел n.

Поэтому множество {a, b} совпадает с множеством {c, d} для всех неотрицательных чисел a, b, c, d и натуральных чисел n.