Question

Вычислить максимальный объём цилиндра, полная поверхность которого равна 9,9см2. Значение числа π в вычислениях округлить до 3. Результат округли до десятых сантиметра.

Answer 1

Полная поверхность цилиндра может быть вычислена по формуле

S=2πR*(R+h) =6R*(R+h)=9.9⇒6R²+6Rh=9.9

Объем цилиндра можем найти по формуле V=πR²h

Из формулы поверхности выразим высоту через радиус и подставим в формулу объема. Получим функцию от переменной R, которую исследуем на наибольшее значение, по стандарту.

6R²+6Rh=9.9⇒6Rh=9.9-6R²; h=(1.65/R) - R.

v=πR²* (1.65/R)-R )=3( 1.65R-R³)

Найдем максимум  функции  V(R) .Найдем критические точки функции.

v'=(3(1.65R-R³))'=3*1.65-3*3R²

3*(1.65-3R²)=0  ,  R²=1.65/3=0.55

R=√0.55≈0.7

_____0______0.7_______

                +                   -

Т.к. при переходе через критическую точку  R=0,7

производная меняет знак с плюса на минус, и других критических точек нет, то R=0,7 -точка максимума, и в ней функция достигает наибольшее значение

V=3(1.65*0.7 -0.7³ )=3*(1.155-0.343)=0.812*3≈2.4/см³/

Ответ ≈2,4см³

Answer 2

Полная поверхность цилиндра состоит из двух частей: боковой поверхности и двух оснований. Пусть радиус основания цилиндра равен "r", а высота цилиндра равна "h".

Формула для боковой поверхности цилиндра: Sб = 2πrh Формула для площади двух оснований цилиндра: Sосн = 2πr^2

Полная поверхность цилиндра: Sпол = Sб + Sосн = 2πrh + 2πr^2

У нас есть условие, что полная поверхность цилиндра равна 9,9 см². Подставим это значение и округлим значение π до 3:

9,9 = 2 * 3 * r * h + 2 * 3 * r^2 4,95 = 3 * r * h + 3 * r^2

Так как нам нужно максимизировать объем цилиндра, объем V цилиндра равен:

V = πr^2h

Подставим значение π = 3 и выразим h из уравнения для полной поверхности цилиндра:

4,95 = 3 * r * h + 3 * r^2 h = (4,95 - 3 * r^2) / (3 * r)

Теперь подставим это значение h обратно в уравнение для объема:

V = 3 * r^2 * ((4,95 - 3 * r^2) / (3 * r)) V = r * (4,95 - 3 * r^2)

Теперь нужно найти максимальное значение V, для чего найдем точку экстремума, где производная V равна нулю:

dV/dr = 4.95 - 9 * r^2

4.95 - 9 * r^2 = 0 r^2 = 4.95 / 9 r = √(4.95 / 9) ≈ 0.659

Таким образом, радиус r ≈ 0.659 см.

Теперь вычислим соответствующую высоту h:

h = (4.95 - 3 * (0.659)^2) / (3 * 0.659) h ≈ 0.605 см

Итак, максимальный объем цилиндра при условии полной поверхности 9,9 см² равен π * (0.659)^2 * 0.605 ≈ 1.326 см³.

Округлим этот результат до десятых сантиметра:

Максимальный объем цилиндра: 1.3 см³.