Question

Тупий кут між діагоналями прямокутника дорів­нює 120°. Доведи, що його діагональ у два рази більша за меншу сторону.

Answer 1

Ответ:

Довели, що якщо тупий кут між діагоналями прямокутника дорів­нює 120°, то діагональ прямокутника  у два рази більша за меншу сторону.

Объяснение:

Тупий кут між діагоналями прямокутника дорів­нює 120°. Доведи, що його діагональ у два рази більша за меншу сторону.

• Діагоналі прямокутника рівні.
• Діагоналі прямокутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.

• В прямокутному трикутнику катет, що лежить проти кута 30 градусів дорівнює половині гіпотенузи

Дано: АВСD - прямокутник, АС∩ВD=О, ∠ВОС=120°

Довести: діагональ АС у два рази більша за сторону АВ.

Доведення

1) Розглянемо ΔВОС

ВО=ОС - за властивістю діагоналей прямокутника, отже ΔВОС - рівнобедрений з основою ВС.

∠ОВС=∠ОСВ - як кути при основі рівнобедреного трикутника.

Тоді за теоремою про суму кутів трикутника маємо:

∠ОВС=∠ОСВ=(180°-∠ВОС) : 2=(180°-120°) : 2 = 30°

2) Розглянемо прямокутний ΔАВС (∠АВС=90°)

∠АСВ=30°, АВ - катет, що лежить навпроти кута 30°, тому він дорівнює половині гіпотенузи АС:

АВ = 1/2 · АС

Тоді АС = 2 · АВ, що и треба було довести.

#SPJ1

Answer 2

Для доведення цього твердження, спочатку розглянемо прямокутник із тупим кутом між його діагоналями. Позначимо сторони прямокутника як a і b, де a > b. Також позначимо діагоналі прямокутника як d1 і d2.

За умовою задачі, тупий кут між діагоналями дорівнює 120°. Це означає, що між діагоналями існує рівність косинуса:

cos(120°) = -0.5

Ми знаємо, що косинус кута між двома векторами можна виразити як їхнє скалярне добуток поділений на добуток їхніх довжин:

cos(120°) = (d1 * d2) / (||d1|| * ||d2||)

Також ми можемо визначити довжини діагоналей прямокутника, використовуючи піфагорову теорему:

||d1|| = sqrt(a^2 + b^2) ||d2|| = sqrt(a^2 + b^2)

Тепер ми можемо підставити це в рівняння для косинуса:

-0.5 = (d1 * d2) / (sqrt(a^2 + b^2) * sqrt(a^2 + b^2))

Далі, помножимо обидві сторони рівняння на добуток довжин діагоналей та використаємо властивість косинуса 120°:

-0.5 * (a^2 + b^2) = d1 * d2

Тепер ми можемо подати вираз для однієї з діагоналей (наприклад, d1) відносно інших величин:

d1 = -0.5 * (a^2 + b^2) / d2

Тепер розглянемо відношення діагоналей прямокутника:

d1 / d2 = -0.5 * (a^2 + b^2) / d2^2

Так як діагональ d2 буде більшою з двох діагоналей (оскільки a > b), то можемо записати:

d2 > d1

Тепер ми можемо порівняти вираз d1 / d2 з -0.5 * (a^2 + b^2) / d2^2. З виразу вище ми бачимо, що діагональ d1 буде менше за d2 (за умови, що a > b), отже:

d1 / d2 < -0.5 * (a^2 + b^2) / d2^2

За умовою задачі, ми знаємо, що тупий кут між діагоналями дорівнює 120°, а це відповідає косинусу -0.5. Тобто:

d1 / d2 = -0.5

Отже, ми маємо:

-0.5 < -0.5 * (a^2 + b^2) / d2^2

Зараз, помножимо обидві сторони нерівності на d2^2:

-0.5 * d2^2 < -0.5 * (a^2 + b^2)

Це рівняння можна спростити, діливши обидві сторони на -0.5:

d2^2 > a^2 + b^2

Далі, виразимо a^2 + b^2 через d2^2:

a^2 + b^2 = d2^2

Підставимо це в рівняння:

d2^2 > d2^2

Це рівняння справедливе для всіх значень d2^2 (діагональ d2 - це додатне число), тому ми можемо стверджувати, що:

d2^2 > d2^2

Це твердження завжди справедливе, тобто діагональ d2 завжди більше за діагональ d1. Таким чином, доведено, що діагональ прямокутника є вдвічі більше за меншу сторону.