Question

в равнобедренной трапеции abcd диагональ ac составляет со стороной dc угол в 90°. меньшее основание трапеции равно боковой стороне. найдите углы трапеции

Answer 1

Треугольник АВС - р/б, диагональ АС - биссектриса угла А. В р/б трапеции углы при основании равны: угол ВАД=углу СДА =2х. Прямоугольный треугольник АСД, в нем угол СДА= 90°- х, 
2х=90-х, решив это уравнение, получим х=30°, угол ВАД=углу СДА =2*30=60°, угол АВС=углу ВСД=180-60=120°

Ответ: 120°,120°, 60°, 60°

Answer 2

Для нахождения углов равнобедренной трапеции ABCD сначала обозначим известные данные:

Пусть AB и CD - основания трапеции, причем AB > CD (большее основание).

Пусть AB = CD = c - это длина боковой стороны трапеции.

Пусть AC - диагональ трапеции.

Известно, что диагональ AC составляет с боковой стороной DC угол 90 градусов. Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник ADC, где AC - гипотенуза, AD - одна из боковых сторон, а DC - другая боковая сторона.

Так как ABCD - равнобедренная трапеция, то угол ADC также равен углу ACD, и оба эти угла обозначим как α.

Мы знаем, что угол ADC равен 90 градусов, так как AC и DC образуют прямой угол.

Теперь мы можем применить теорему Пифагора к треугольнику ADC:

AC^2 = AD^2 + DC^2

AC^2 = c^2 + c^2

AC^2 = 2c^2

AC = c√2

Теперь у нас есть длина диагонали AC. Мы также знаем, что AD = AB - BC, где AB - большее основание, и BC - меньшее основание. Но, так как AB и BC равны, то AD = 0.5AB.

Теперь мы можем применить теорему косинусов к треугольнику ADC:

cos(α) = (AD^2 + DC^2 - AC^2) / (2 * AD * DC)

cos(α) = (0.25AB^2 + c^2 - 2c^2) / (2 * 0.5AB * c)

cos(α) = (0.25AB^2 - c^2) / (AB * c)

Теперь мы можем решить это уравнение для α:

cos(α) = (0.25AB^2 - c^2) / (AB * c)

cos(α) = (0.25(AB^2 - 4c^2)) / (AB * c)

cos(α) = (AB^2 - 4c^2) / (4ABc)

cos(α) = (AB^2 / (4ABc)) - (4c^2 / (4ABc))

cos(α) = (B / (4c)) - (c / (AB))

Таким образом, у нас есть выражение для cos(α) в зависимости от отношения длины большего основания AB к длине боковой стороны c.

Для нахождения угла α нам нужно найти обратный косинус этого значения:

α = arccos[(B / (4c)) - (c / (AB))]