Question

Пусть D- середина гипотенузы BC прямоугольного треугольника ABC. На катете AC выбрана точка М, что угол AMB=углу CMD. Найдите отношение AM/MC

Answer 1

на фото..................

Answer 2

Для решения этой задачи давайте воспользуемся свойствами подобных треугольников. Обозначим отношение AM к MC через x.

Так как D - середина гипотенузы BC, то треугольник ABD также подобен треугольнику ACD. Из этого следует, что:

AB / AD = AD / AC.

Также, так как угол AMB равен углу CMD, то треугольники AMB и CDM подобны. Отсюда имеем:

AM / MC = BM / CD.

Теперь объединим два полученных соотношения:

AB / AD = AD / AC, AM / MC = BM / CD.

Перепишем эти соотношения в виде:

AB * AC = AD^2, AM * CD = MC * BM.

Так как D - середина гипотенузы BC, то AD = CD, а значит:

AB * AC = AD^2 = CD^2, AM * CD = MC * BM.

Теперь мы знаем, что AB * AC = CD^2 и AM * CD = MC * BM.

Теперь вспомним теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABC:

AB^2 + BC^2 = AC^2.

Так как D - середина гипотенузы BC, то BC = 2 * CD. Подставим это значение:

AB^2 + (2 * CD)^2 = AC^2, AB^2 + 4 * CD^2 = AC^2.

Теперь заметим, что AB * AC = CD^2, следовательно, AB^2 = CD^2. Заменим AB^2 на CD^2:

CD^2 + 4 * CD^2 = AC^2, 5 * CD^2 = AC^2.

Отсюда получаем:

CD^2 = AC^2 / 5.

Теперь, используя соотношение AM * CD = MC * BM и то, что CD^2 = AC^2 / 5, можем записать:

AM * (AC^2 / 5) = MC * BM.

Теперь найдем BM. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике BMC:

BM^2 + MC^2 = BC^2, BM^2 + MC^2 = (2 * CD)^2, BM^2 + MC^2 = 4 * CD^2, BM^2 + MC^2 = 4 * (AC^2 / 5).

Теперь, зная, что AM * (AC^2 / 5) = MC * (4 * AC^2 / 5), можем найти x (AM / MC):

AM / MC = MC * (4 * AC^2 / 5) / (AC^2 / 5) = 4 * MC / MC = 4.

Ответ: AM / MC = 4.