Question

Как доказать что основание вписанной трапеции больше ее боковой стороны?

Answer 1

Это неверное утверждение!!!

Если  основания расположены ближе к центру окружности, чем стороны вписанного квадрата, только в таком случае они  больше боковой стороны.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что основание вписанной трапеции больше её боковой стороны, предположим, что дана вписанная трапеция ABCD, где AB и CD являются её основаниями, а BC и AD — боковыми сторонами.

Для начала, давайте установим некоторые обозначения: Пусть M будет точкой пересечения диагоналей AC и BD. Пусть O будет центром окружности, вписанной в трапецию ABCD. Пусть P и Q будут точками касания окружности с боковыми сторонами BC и AD соответственно.

Теперь, для доказательства основания (AB и CD) больше боковой стороны BC, нужно убедиться, что PM > BM (или аналогично, QM > MQ).

Шаги доказательства:

1. Из свойств вписанных углов следует, что углы BAM и CDM равны.
2. Также углы AMB и CMD равны, так как они являются смежными углами трапеции.
3. Теперь рассмотрим треугольники BMP и QMD:
   • Они прямоугольные треугольники, так как углы BPM и DQM — прямые углы (касательные к окружности перпендикулярны радиусам).
   • Углы BMP и DQM равны, так как они соответственные углы к равным углам AMB и CMD.
   • Из равенства углов следует, что угол BMP = угол DQM.
   • Значит, треугольники BMP и QMD подобны по углам.
4. Поскольку BMP и QMD подобны, и у них общий угол MBP (так как BMP — прямоугольный), следует, что MP/MD = MB/MQ.
5. Поскольку MD равно половине суммы оснований AB и CD, то есть MD = (AB + CD)/2, и MQ равно половине суммы боковых сторон AD и BC, то есть MQ = (AD + BC)/2, получаем: MP/(AB + CD) = MB/(AD + BC).
6. Из этого можно заключить, что MP > MB, так как AB + CD > AD + BC.

Таким образом, доказано, что основание трапеции (AB и CD) больше её боковой стороны BC.