Question

Диагональ BD параллелограмма ABCD параллельна плоскости γ, а лучи AD и AB пересекают эту плоскость в точках М и N соответственно. Докажите, что треугольники DAB и MAN подобны.

Answer 1

Поскольку BD ║ γ , то MN ║ γ  ⇒ BD ║ MN. У треугольников AMN и DAB угол А общий и ∠AMN = ∠ADB как соответственные углы при MN ║ BD и секущей AD ⇒ ΔDAB ~ ΔMAN.

Answer 2

Для доказательства подобия треугольников DAB и MAN, мы должны показать, что у них соответствующие углы равны, а соотношение длин сторон одинаково.

Предположим, что γ - это плоскость, параллельная плоскости параллелограмма ABCD, и BD является диагональю параллелограмма, параллельной плоскости γ.

Из данного условия мы можем заключить следующее:

1. AD и AB пересекают плоскость γ в точках М и N соответственно. Это означает, что угол DAM равен углу BAN, потому что они соответственные углы, образованные параллельными прямыми МА и АN, пересекающими луч DA.

2. Также из параллельности прямых МА и АN мы можем сказать, что угол DAB равен углу MAN, так как они соответственные углы, образованные параллельными прямыми AD и MA, пересекающими луч AB.

Теперь рассмотрим стороны треугольников DAB и MAN:

Пусть AB = a, BD = b, AD = c, MN = x и AN = y.

Так как лучи AD и AB пересекают плоскость γ, а лучи DA и AN параллельны, то можно применить теорему Талеса для параллельных лучей, чтобы получить следующие пропорции:

$\frac{AM}{AD} = \frac{AN}{AB}$

$\frac{AM}{c} = \frac{y}{a}$ - (1)

Теперь рассмотрим треугольник ABD:

Согласно теореме Пифагора для треугольника ABD, у нас есть:

$AB^2 + AD^2 = BD^2$

$a^2 + c^2 = b^2$ - (2)

Теперь рассмотрим треугольник MAN:

Так как треугольники DAB и MAN подобны, то у них соотношение сторон такое же:

$\frac{MN}{AB} = \frac{AM}{AD}$

$\frac{x}{a} = \frac{y}{c}$ - (3)

Теперь у нас есть два уравнения (1) и (3) с двумя неизвестными (x и y). Так как эти уравнения имеют одинаковые коэффициенты перед x и y, то они представляют собой систему линейных уравнений, которую можно решить.

Из уравнения (1) получаем:

$y = \frac{a \cdot AM}{c}$

Теперь подставим это значение y в уравнение (3):

$\frac{x}{a} = \frac{\frac{a \cdot AM}{c}}{c}$

Упростим:

$x = \frac{a^2 \cdot AM}{c^2}$

Теперь у нас есть выражения для x и y через AM и c. Мы также знаем из уравнения (2), что $c^2 = b^2 - a^2$.

Теперь сравним стороны треугольников DAB и MAN:

$DA = c$

$MN = x = \frac{a^2 \cdot AM}{c^2} = \frac{a^2 \cdot AM}{b^2 - a^2}$

$AB = a$

Таким образом, соотношение сторон для треугольников DAB и MAN равно:

$\frac{MN}{AB} = \frac{\frac{a^2 \cdot AM}{b^2 - a^2}}{a} = \frac{a \cdot AM}{b^2 - a^2}$

Теперь рассмотрим треугольник DAB. Из теоремы Пифагора у нас уже есть $a^2 + c^2 = b^2$. Теперь мы можем выразить $a^2$ через c:

$a^2 = b^2 - c^2$

Теперь подставим это значение в выражение для соотношения сторон треугольников DAB и MAN:

$\frac{MN}{AB} = \frac{a \cdot AM}{b^2 - a^2} = \frac{a \cdot AM}{b^2 - (b^2 - c^2)} = \frac{a \cdot AM}{c^2}$

Мы знаем, что $AM = c$ (поскольку это сторона параллелограмма), поэтому:

$\frac{MN}{AB} = \frac{a \cdot AM}{c^2} = 1$

Таким образом, мы доказали, что треугольники DAB и MAN подобны с коэффициентом подобия 1 (или просто равны). Это означает, что у них равные углы и соответствующие стороны пропорциональны.