Question

Диагональ BD параллелограмма ABCD параллельна плоскости γ, а лучи AD и AB пересекают эту плоскость в точках М и N соответственно. Докажите, что треугольники DAB и MAN подобны.

Answer 1

Поскольку BD ║ γ , то MN ║ γ  ⇒ BD ║ MN. У треугольников AMN и DAB угол А общий и ∠AMN = ∠ADB как соответственные углы при MN ║ BD и секущей AD ⇒ ΔDAB ~ ΔMAN.

Answer 2

Для доказательства подобия треугольников DAB и MAN, мы должны показать, что у них соответственные углы равны и что их стороны пропорциональны.

1. Углы: Так как BD || γ, то углы BDA и MAN будут соответственными углами, так как они лежат на параллельных линиях BD и MN и пересекаются плоскостью γ.

2. Стороны: Для доказательства пропорциональности сторон, мы можем использовать теорему Параллельных линий.

Из параллелограмма ABCD, мы знаем, что AB || CD и AD || BC. Также, мы знаем, что лучи AD и AB пересекают плоскость γ в точках М и N соответственно.

Теперь рассмотрим треугольники DAB и MAN:

Строим параллельные линии через точки D и A, параллельные линиям CD и AB, соответственно, и пересекающиеся с плоскостью γ в точках K и L, соответственно.

Таким образом, мы получаем следующие пары параллельных линий:

1. BD || KL (так как BD || γ и KL пересекает плоскость γ в точке L).
2. AD || KM (так как AD || BC и KM пересекает плоскость γ в точке M).

Теперь рассмотрим треугольники DKL и AMN. У этих треугольников соответственные углы равны, так как они лежат на параллельных линиях и пересекаются плоскостью γ.

Также, по теореме Параллельных линий, мы можем заключить, что стороны этих треугольников пропорциональны. В частности, соотношение сторон DA и AK будет равно соотношению сторон MA и KL, и это будет также равно соотношению сторон AB и DL.

Таким образом, мы доказали, что треугольники DAB и MAN подобны, так как их углы соответственны и их стороны пропорциональны.