Question

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, точка М - середина ребра BC. Найдите косинус угла AMA1, если боковое ребро CC1 равно 4, а сторона основания равно 2 корень из 3

Answer 1

Ответ:

АА1 _L ABC по свойству правильной призмы. Тогда <АА1М=90° и ∆АА1М - прямоугольный. В ∆АВС АМ - медиана, раз он равносторонний - то и высота, откуда ВМ=0.5*ВС=√3, <АMВ=90°. ∆АВМ прямоугольный, AB²=BM²+AM³, откуда АМ=3. ∆А1АМ прямоугольный, A1M²=MA²+AA1², A1M²=3²+4², A1M=5.

cos(<A1MA)=AM/A1M=3/5.

Объяснение:

Answer 2

Для начала давайте разберемся с геометрической конфигурацией треугольной призмы ABCA1B1C1.

Мы знаем, что треугольная призма ABCA1B1C1 является правильной, что означает, что её основание (треугольник ABC) является равносторонним треугольником. Также дано, что сторона основания равна 2√3, что означает, что длина каждой стороны треугольника ABC равна 2√3.

Также, точка M является серединой ребра BC, поэтому BM = MC = 4 / 2 = 2.

Теперь давайте рассмотрим треугольник AMA1. Мы хотим найти косинус угла AMA1.

Сначала найдем длины сторон этого треугольника. Мы знаем, что сторона AM = BM = 2, так как точка M является серединой ребра BC.

Так как треугольник ABC является равносторонним, угол BAC равен 60 градусам. Это также означает, что угол MAC (и угол BMA) равен 60 градусам.

Теперь у нас есть треугольник AMA1 с известными длинами сторон AM = BM = 2, MA1 = MC1 = 2√3 и углом MAC = 60 градусов.

Используя закон косинусов для треугольника AMA1:

cos(AMA1) = (AM^2 + MA1^2 - 2 * AM * MA1 * cos(MAC)) / (2 * AM * MA1)

Подставляем известные значения:

cos(AMA1) = (2^2 + (2√3)^2 - 2 * 2 * 2√3 * cos(60°)) / (2 * 2 * 2√3)

Рассчитаем косинус угла AMA1:

cos(60°) = 0.5 (значение косинуса угла 60°) cos(AMA1) = (4 + 12 - 4 * 2√3 * 0.5) / (4√3) cos(AMA1) = (16 - 4√3) / (4√3) cos(AMA1) = (4(4 - √3)) / (4√3) cos(AMA1) = (4 - √3) / √3

Таким образом, косинус угла AMA1 равен (4 - √3) / √3.