Question

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, точка M — середина ребра BC. Найдите косинус угла AMA1, если боковое ребро CC1 равно 4, а сторона основания равна 2. С рисунком, пожалуйста)

Answer 1

Ответ:

АА1 _L ABC по свойству правильной призмы. Тогда <АА1М=90° и ∆АА1М - прямоугольный. В ∆АВС АМ - медиана, раз он равносторонний - то и высота, откуда ВМ=0.5*ВС=√3, <АMВ=90°. ∆АВМ прямоугольный, AB²=BM²+AM³, откуда АМ=3. ∆А1АМ прямоугольный, A1M²=MA²+AA1², A1M²=3²+4², A1M=5.

cos(<A1MA)=AM/A1M=3/5

Объяснение:

Answer 2

К сожалению, я не могу предоставить вам рисунок, но я могу вам подробно описать, как решить эту задачу.

Поскольку у нас есть правильная треугольная призма ABCA1B1C1, каждая грань основания треугольника ABC равносторонний треугольник, и угол при вершине треугольника равен 60 градусам.

Давайте обозначим точки следующим образом:

• A, B, C - вершины треугольника ABC (основание призмы).
• A1, B1, C1 - соответствующие вершины на верхнем основании.
• M - середина ребра BC.

Так как боковое ребро CC1 равно 4, то это ребро соединяет вершины C и C1. Также у нас дано, что сторона основания треугольника ABC равна 2.

1. Найдем высоту треугольника ABC. Так как ABC - равносторонний треугольник, высота будет делить его на два равнобедренных треугольника. Высота треугольника ABC высчитывается следующим образом:

   h = a * sqrt(3) / 2,

   где a - длина стороны треугольника ABC, sqrt(3) - квадратный корень из 3.

   В нашем случае a = 2, поэтому:

   h = 2 * sqrt(3) / 2 = sqrt(3).

2. Теперь мы можем найти длину ребра BC:

   BC = 2 * h = 2 * sqrt(3).

3. Так как точка M - середина ребра BC, то длина отрезка BM равна половине длины ребра BC:

   BM = BC / 2 = sqrt(3).

4. Рассмотрим треугольник AMB. Мы знаем длины его сторон: AM = 2 (половина длины основания) и BM = sqrt(3).

5. Используем теорему косинусов для нахождения косинуса угла AMA1:

   cos(AMA1) = (AM^2 + BM^2 - AB^2) / (2 * AM * BM).

   Подставляя значения:

   cos(AMA1) = (2^2 + (sqrt(3))^2 - 2^2) / (2 * 2 * sqrt(3)) = (4 + 3 - 4) / (4 * sqrt(3)) = 3 / (4 * sqrt(3)) = sqrt(3) / 4.

Таким образом, косинус угла AMA1 равен sqrt(3) / 4.