Question

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 36 см. Боковое ребро с плоскостью основания образует угол 30°. Вычисли высоту пирамиды.

Answer 1

В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат поэтому все стороны основания равны. Обозначим вершины пирамиды АВСД с высотой КО и проведём две диагональ Али в основании АС и ВД. Они делят основание на 2 равных равнобедренных прямоугольных треугольника в которых стороны основания являются катетами а диагональ гипотенузой. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета в √2 раз поэтому ВД=36√2см. Так как диагонали квадрата пересекаясь делятся пополам то

ВО=ДО=АО=СО=36√2/2=18√2см. Рассмотрим полученный ∆АКО. Он прямоугольный где АО и КО - катеты, а СК- гипотенуза. Катет КО, лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы, поэтому КО=½×АС. Пусть КО=х, тогда АК=2х. Составим уравнение используя теорему Пифагора:

АК²-КО²=АО²

(2х)²-х²=(18√2)²

4х²-х²=324×2

3х²=628

х²=628/3=216

х=√216=6√6, тогда АК=6√6×2=12√6

ОТВЕТ: КО=6√6см

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем использовать тригонометрические соотношения и геометрические свойства пирамиды.

Давайте обозначим:

• Сторона основания квадрата: $a = 36$ см.
• Боковое ребро пирамиды: $b$.
• Угол между боковым ребром и плоскостью основания: $30^\circ$.
• Высота пирамиды, проведенная к вершине из вершины бокового ребра: $h$.

Мы можем найти боковое ребро $b$ с использованием тригонометрии. Так как боковое ребро, плоскость основания и высота образуют прямоугольный треугольник, то: $\tan(30^\circ) = \frac{h}{b}.$

Отсюда мы можем выразить $b$: $b = \frac{h}{\tan(30^\circ)}.$

Теперь у нас есть выражение для бокового ребра через высоту $h$. Давайте используем теорему Пифагора для пирамиды, где $c$ - половина диагонали основания, $b$ - боковое ребро, $h$ - высота: $c^2 = a^2 + b^2.$

В данной задаче, так как основание квадратное, диагональ $c$ равна $a\sqrt{2}$. Подставляя значения и выражение для $b$: $(a\sqrt{2})^2 = a^2 + \left(\frac{h}{\tan(30^\circ)}\right)^2.$

Раскрывая и упрощая, получаем: $2a^2 = a^2 + \frac{h^2}{\tan^2(30^\circ)}.$

Теперь можно выразить $h$: $h^2 = (2a^2 - a^2 \tan^2(30^\circ)) \cdot \tan^2(30^\circ).$

Подставляя значения, можно найти $h$: $h = \sqrt{(2 \cdot 36^2 - 36^2 \cdot \tan^2(30^\circ)) \cdot \tan^2(30^\circ)}.$

Вычисляя это выражение, мы получим высоту пирамиды $h$.