Question

*ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА* 1. Дана 4-х угольная правильная пирамида, сторона основания которой 4 см. Высота пирамиды 10 см. Найти апофему (высоту боковой грани) (ответ округлить до десятых и записать через запятую)2. Найти полную поверхность правильной треугольной пирамиды со стороной основания 3 см и боковым ребром 8 см. (в ответ записать целую часть)3. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 6 см и боковым ребром 12 см (в ответ записать целую часть)

Answer 1

Ответ:

Правильная четырёхугольная пирамида MABCD

AB=BC=CD=AD = 4 см , О - точка пересечения диагоналей

OK⊥CM;  OK = 2 см

ABCD - квадрат ⇒ AC = BD = AB*√2 = 4√2 см

ΔOKC : ∠OKC=90°; OC = AC/2 = 2√2 см; OK = 2 см

KC² = OC² - OK² = (2√2)² - 2² = 8-4 = 4  ⇒  KC = 2 см  ⇒

ΔOKC - прямоугольный равнобедренный

ΔMOC ~ ΔOKC по двум углам: прямому и общему острому ∠OCM ⇒

ΔMOC - прямоугольный равнобедренный ⇒

OM = OC = 2√2 см:  MK = KC = 2 см   ⇒  MC = 2*2 = 4 см

Так как пирамида правильная, то MD = MC = 4 см  ⇒

ΔCMD - равносторонний : MD = MC = 4 см = CD  ⇒

Угол при вершине пирамиды равен 180°/3 = 60°

В равностороннем треугольнике медиана DK - она же высота ⇒ 

DK⊥MC.   Аналогично BK⊥MC   ⇒

Угол между смежными боковыми гранями равен углу BKD

DK = DC*sin 60° = 4 * √3/2 = 2√3 см

ΔBKD : BD = 4√2 см; DK = BK = 2√3 см

Теорема косинусов

BD² = BK² + DK² - 2BK*DK*cos ∠BKD

(4√2)² = (2√3)² + (2√3)² - 2 * 2√3 * 2√3 * cos∠BKD

32 = 24 - 24*cos∠BKD

24cos∠BKD = -8

cos∠BKD = -1/3

∠BKD = arccos (-1/3) ≈ 109,5° 

ΔFMO: ∠FOM=90°; OM = 2√2 см; MF = 2√3 см

sin∠MFO = OM / MF = 2√2 / (2√3)= \sqrt{ \frac{2}{3} }32

∠MFO = arcsin (\sqrt{ \frac{2}{3} }32 ) ≈ 54,7°

MF⊥AD  и  OF⊥AD  ⇒

∠MFO - угол между боковой гранью и гранью основания

Ответ: угол при вершине 60°;

угол между смежными боковыми гранями arccos (-1/3) ≈ 109,5°;

угол между боковой гранью и гранью основания равен

arcsin (\sqrt{ \frac{2}{3} }32 ) ≈ 54,7°

Answer 2

1. Для нахождения апофемы (высоты боковой грани) правильной четырёхугольной пирамиды, используем теорему Пифагора для треугольника, образованного половиной основания, апофемой и боковым ребром. В данном случае:

   Половина основания = 4 см / 2 = 2 см Высота пирамиды = 10 см

   Апофема (высота боковой грани)^2 + (Половина основания)^2 = Боковое ребро^2 Высота боковой грани^2 + 2^2 = Боковое ребро^2 Высота боковой грани^2 = Боковое ребро^2 - 4 Высота боковой грани = √(Боковое ребро^2 - 4) Высота боковой грани = √(10^2 - 4) Высота боковой грани = √(100 - 4) Высота боковой грани = √96 Высота боковой грани ≈ 9.8 см (округляем до десятых)

2. Полная поверхность правильной треугольной пирамиды состоит из площади основания и площади боковых граней.

   Сначала найдем площадь боковой грани. Для этого воспользуемся формулой площади треугольника: Площадь = 0.5 * основание * высота.

   Основание боковой грани = 3 см Высота боковой грани (боковое ребро) = 8 см

   Площадь боковой грани = 0.5 * 3 см * 8 см = 12 см²

   Так как у пирамиды 4 боковые грани, общая площадь боковых граней = 4 * 12 см² = 48 см²

   Площадь основания = сторона^2 * √3 / 4 Площадь основания = 3 см^2 * √3 / 4 ≈ 1.3 см² (округляем до десятых)

   Полная поверхность = Площадь боковых граней + Площадь основания Полная поверхность ≈ 48 см² + 1.3 см² ≈ 49.3 см²

   Целая часть: 49

3. Объем правильной четырёхугольной пирамиды можно вычислить по формуле: Объем = (Основание * Высота) / 3.

   Основание пирамиды = 6 см Высота пирамиды (боковое ребро) = 12 см

   Объем = (6 см * 12 см) / 3 = 72 см³

   Целая часть: 72