Question

В выпуклом четырёхугольнике NPQM  диагональ NQ  является биссектрисой угла PNM  и пересекается с диагональю PM  в точке S . Найдите NS , если известно, что около четырёхугольника NPQM  можно описать окружность, PQ=44 , SQ=22 

Answer 1

 Рассмотрим треугольник  $PNM$.
 Так как  сторона   $NS$ - общая , то  $PNS=NSM$. 
 Тогда   $PS=SM$ , так как   $NQ$ биссектриса. 
 По свойству хорд получаем   $22*NS=PS*MS$  
$>   Воспользуемся теоремой  Птолемея , получим           <img src=$ так как треугольники   $PNQ;MNQ$       равны, то  $MQ=PN\\\\ (PS+22)*2MS=88NM\\ 22NS=MS^2\\ NP=NM$ 
 откуда получаем  
    $(PS+MS)(22+\frac{PS*MS}{22})=88*\frac{(PS+MS)MS}{PS} \\ PS*MS=1936-484=1452\\ NS=\frac{1452}{22}=66$
 
 

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами биссектрисы и окружности, описанной вокруг четырёхугольника.

По свойству биссектрисы угла PNM мы знаем, что отношение длины отрезка NQ к длине отрезка MQ равно отношению длины стороны PN к длине стороны PM:

NQ / MQ = PN / PM

Также мы знаем, что около четырёхугольника NPQM можно описать окружность. По свойству окружности, углы, образованные хордой и дугой, равны. Поэтому угол QNM равен углу QPM.

Теперь обратимся к треугольнику QSM. Углы QSM и QNM смежные и равны, так как они соответственные углы при пересечении прямых QN и SM двумя параллельными прямыми PQ и NM. Следовательно, треугольник QSM — равнобедренный, и SQ = SM.

Теперь мы можем записать отношение длин отрезков NQ и MQ с использованием известных данных:

NQ / MQ = PN / PM NQ / (NQ + SQ) = PN / (PN + SM) NQ / (NQ + 22) = PN / (PN + SQ)

Заметим, что PN + SQ равно стороне PQ, а NQ + SQ равно стороне NS (так как SQ = SM). Подставим эти значения:

NQ / (NQ + 22) = PN / 44 NQ / NS = PN / 44

Теперь можем решить эту систему уравнений относительно NS. Подставим выражение для NQ из первого уравнения во второе уравнение:

(PN / 44) * (NQ + 22) = NQ PN * (NQ + 22) = 44 * NQ PN * NQ + 22 * PN = 44 * NQ

Теперь приведём уравнение к более удобному виду:

PN * NQ - 44 * NQ = -22 * PN (NQ - 44) * PN = 22 * PN NQ - 44 = 22 NQ = 66

Таким образом, NS равно 66.