Question

Подскажите пожалуйста Боковые грани правильной четырёхугольной пирамиды наклонены к плоскости основания под углом α, sin α=(√2)/(√5). Под каким углом наклонены к плоскости основания боковые рёбра пирамиды?

Answer 1

Дан синус угла наклона боковой грани:  sin α=(√2)/(√5).

Это отношение высоты пирамиды к апофеме.

Из условия пропорциональности примем заданные значения за соответствующие размеры.

Тогда половина стороны основания (а/2) = (√(√5)² - (√2)²) =  √3.

А половина диагонали основания будет равна  (√2)*(√3) =  √6.

Она равна проекции бокового ребра на основание.

Отсюда тангенс угла наклона бокового ребра к основанию равен:

tg β = H/(d/2) =  (√2)/(√6) =  √(1/3).

Угол равен 18,435 градуса.

Answer 2

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида с основанием в форме квадрата, и боковые грани наклонены к плоскости основания под углом α, так что sin α = (√2)/(√5).

Чтобы найти угол наклона боковых рёбер к плоскости основания, давайте рассмотрим треугольник, образованный половиной боковой грани пирамиды, высотой этой боковой грани и половиной диагонали основания. Этот треугольник будет прямоугольным.

Пусть a - длина стороны основания квадрата, h - высота боковой грани, и d - длина диагонали основания квадрата. Тогда, по теореме Пифагора для треугольника, у которого один угол α, его противоположная сторона равна h/2, прилежащая сторона - a/2, и гипотенуза - d/2.

Мы знаем, что sin α = (√2)/(√5). Также из свойств синуса в прямоугольном треугольнике:

sin α = противоположная сторона / гипотенуза (√2)/(√5) = (h/2) / (d/2) (√2)/(√5) = h/d

Следовательно, h = d * (√2)/(√5).

Теперь рассмотрим другой прямоугольный треугольник, образованный одной из боковых граней, основанием и высотой пирамиды. Пусть x - угол наклона бокового ребра к плоскости основания. Тогда:

sin x = противоположная сторона / гипотенуза sin x = (h/2) / a sin x = (d * (√2)/(√5)) / a

Мы знаем, что a = d * √2, так как диагональ квадрата в два раза больше его стороны.

Теперь можем выразить sin x через sin α:

sin x = ((d * (√2)/(√5)) / (d * √2)) sin x = (√2)/(√5) * (1/√2) sin x = 1/√5

Из этого следует, что x = arcsin(1/√5). Найдя значение этого арксинуса, мы найдём угол наклона боковых рёбер пирамиды к плоскости основания.

arcsin(1/√5) ≈ 21.8°

Таким образом, боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом примерно 21.8 градусов.