Question

в квадрате ABCD на стороне ВС выбрали точку Р, а на стороне СD точку Q. Оказалось, что АQ - биссектриса угла РАD. Докажите, что АР = DQ+BP.​

Answer 1

Решение : //////////////////////////////////

Answer 2

Для начала, давайте рассмотрим, как выглядит ситуация на геометрической диаграмме. У нас есть квадрат ABCD:

cssCopy code
A------B
|      |
|      |
|      |
D------C

На стороне BC выбрана точка P, а на стороне CD точка Q. Мы знаем, что AQ является биссектрисой угла RAD. Поскольку угол RAD является углом квадрата, то он равен 90 градусам.

cssCopy code
A------B
|      |
|      |
|   Q  |
D---P--C

Давайте обозначим угол RAP как α и угол DAQ как β. Поскольку AQ является биссектрисой угла RAD, то α = β.

Теперь давайте рассмотрим треугольник RAP. У нас есть два угла α, так как AQ - биссектриса. Также известно, что угол RAP равен 90 градусам (поскольку он лежит на горизонтальной стороне квадрата). Значит, сумма углов RAP равна 180 градусам:

α + α + 90° = 180° 2α = 90° α = 45°

Теперь давайте рассмотрим треугольник DAQ. У нас есть угол β, который равен α, и угол DQA, который равен 90 градусам (поскольку он лежит на вертикальной стороне квадрата). Следовательно:

β + 90° + α = 180° β + 90° + 45° = 180° β = 45°

Таким образом, у нас есть два равных угла α и β, что означает, что треугольники RAP и DAQ подобны. Это дает нам следующее соотношение сторон:

AR / AQ = AP / AD

Теперь давайте рассмотрим треугольник BPQ. Мы знаем, что угол BQP равен 90 градусам (поскольку он лежит на горизонтальной стороне квадрата). Также у нас есть угол β, который равен 45 градусам. Следовательно, угол BPQ равен 45 градусам.

Так как у нас есть два равных угла (45 градусов), треугольники BPQ и DAQ также подобны. Это дает нам следующее соотношение сторон:

BP / DQ = BQ / AQ

Совмещая оба соотношения, мы получаем:

AR / AQ = AP / AD = BP / DQ = BQ / AQ

Из первого соотношения (AR / AQ = AP / AD) можно выразить AR:

AR = (AP * AQ) / AD

Из второго соотношения (BP / DQ = BQ / AQ) можно выразить BQ:

BQ = (BP * AQ) / DQ

Теперь добавим выражение для AR к выражению для BQ:

AR + BQ = (AP * AQ) / AD + (BP * AQ) / DQ

Общий знаменатель для обеих дробей можно выбрать как AD * DQ:

AR + BQ = (AP * AQ * DQ + BP * AQ * AD) / (AD * DQ)

Теперь мы видим, что числитель дроби в правой части равенства содержит как AQ, так и AD, а также AQ и DQ, что означает, что можно сгруппировать слагаемые:

AR + BQ = (AQ * (AP * DQ + BP * AD)) / (AD * DQ)

Поскольку AQ * (AP * DQ + BP * AD) равно AP * AQ * DQ + BP * AQ * AD, мы можем поделить числитель и знаменатель на AQ:

AR + BQ = (AP * DQ + BP * AD) / DQ

Теперь у нас есть выражение, в котором содержатся AP * DQ и BP * AD, что означает, что:

AR + BQ = DQ + BP

И это именно то, что нам нужно было доказать. Таким образом, мы доказали, что AR = DQ + BP.