Question

Даны точки: A(1; 1), B(2; –1), C(3; 4), D(n; 2). При каком значении n прямые AB и CD будут перпендикулярны?​

Answer 1

Ответ:

n=-1

Объяснение:

Даны точки А(1;1), B(2;-1), C(3,4), D(n;2).

Найдем координаты векторов АВ и СD:

$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\;y_B-y_A)=(2-1;\;-1-1)=(1;-2)\\\\\overrightarrow{CD}=(x_D-x_C;\;y_D-y_C)=(n-3;\;2-4)=(n-3;-2)$

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

То есть:

$x_1x_2+y_1y_2=0$

$1(n-3)+(-2)*(-2)=0\\n-3+4=0\\n+1=0\\n=-1$

При n=-1 векторы будут перпендикулярны.

Answer 2

Для того чтобы прямые AB и CD были перпендикулярными, их направляющие векторы должны быть взаимно перпендикулярными. Направляющий вектор для прямой AB можно получить, вычислив разность координат точек A и B:

AB = (2 - 1, -1 - 1) = (1, -2).

Направляющий вектор для прямой CD можно получить, вычислив разность координат точек C и D:

CD = (n - 3, 2 - 4) = (n - 3, -2).

Чтобы эти два вектора были перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равно нулю:

AB · CD = (1, -2) · (n - 3, -2) = 1 * (n - 3) + (-2) * (-2) = n - 3 + 4 = n + 1.

Таким образом, чтобы прямые AB и CD были перпендикулярными, необходимо, чтобы n + 1 = 0. Решая это уравнение, получаем:

n = -1.

При значении n = -1 прямые AB и CD будут перпендикулярными.