Question

50 БАЛЛОВ Цилиндр описан около прямой призмы, в основании которой прямоугольный треугольник с катетами длиной 19 см и 19 см. Известно, что диагональ большей грани призмы образует с плоскостью основания угол величиной 45 градусов. Определи площадь полной поверхности цилиндра. СРОЧНО!!!!!!!!!!

Answer 1

Цилиндр описан около прямой призмы, в основании которой прямоугольный треугольник с катетами длиной 19 см и 19 см.

Известно, что диагональ большей грани призмы образует с плоскостью основания угол величиной 45°.  Определи площадь полной поверхности цилиндра.

Объяснение:

1) S(полн.цилиндра)=2S(осн.)+S(бок.)

                                  S(осн.)=πr²   ,S(бок.)=2πrh

2) Т.к в основании прямоугольный треугольник, вписанный в окружность, то гипотенуза АВ является диаметром круга.

По т. Пифагора АВ=√(19²+19²)=19√2 (см)⇒ r=9,5√2 cм.

Т.к гипотенуза самая большая сторона в прямоугольном треугольнике, то прямоугольник АВВ1А1-большая грань призмы. Тогда ∠В1АВ=45°. Т.к. в ΔВ1АВ один угол 45°, то и другой 45°⇒ΔВ1АВ-равнобедренный  , АВ=ВВ1=19√2 см.⇒h=19√2 см.

3)  S(осн.)=π( 9,5√2)²= 180,5π см²    , S(бок.)=2π* 9,5√2*19√2=722π (см²)

S(полн.цилиндра)=2*180,5π+722π=1083π (см²).

Answer 2

Для решения данной задачи нам потребуется найти радиус описанного цилиндра и, затем, вычислить его полную поверхность.

1. Найдем радиус описанного цилиндра: Поскольку большая грань призмы — прямоугольный треугольник, и один из углов его диагонали равен 45 градусам, то данный треугольник можно считать половиной квадрата со стороной равной диагонали. Диагональ большей грани равна гипотенузе треугольника, а стороны квадрата будут равны катетам этого треугольника.

   По теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$, где $a$ и $b$ — катеты треугольника, $c$ — гипотенуза треугольника.

   В данном случае: $19^2 + 19^2 = c^2$, $c^2 = 2 \cdot 19^2$, $c = 19 \sqrt{2}$.

   Диагональ большей грани равна диаметру описанного цилиндра: $d = 2r$, где $r$ — радиус цилиндра.

   $19 \sqrt{2} = 2r$, $r = \frac{19 \sqrt{2}}{2}$.

2. Теперь, когда мы нашли радиус цилиндра, можем вычислить его полную поверхность.

   Полная поверхность цилиндра состоит из двух частей: боковой поверхности и двух оснований.

   Боковая поверхность цилиндра равна $S_{бок} = 2\pi rh$, где $h$ — высота призмы (одновременно и высота цилиндра), $r$ — радиус цилиндра.

   Площадь каждого из оснований цилиндра равна $S_{осн} = \pi r^2$.

   Таким образом, полная поверхность цилиндра: $S_{полн} = 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi r(h + r)$.

   Подставляем найденное значение радиуса $r = \frac{19 \sqrt{2}}{2}$ и высоты $h = 19$ (по условию высота призмы равна одному из катетов): $S_{полн} = 2\pi \cdot \frac{19 \sqrt{2}}{2} \cdot (19 + \frac{19 \sqrt{2}}{2})$.

   Вычисляем данное выражение и получаем площадь полной поверхности цилиндра.