Question

Биссектрисы углов C и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне AB. Докажите, что M — середина AB. Даю 25 баллов

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Дано: ABCD - параллелограмм;

СМ и DM -биссектрисы углов С и D соответственно.

Точка М∈АВ

Доказать: АМ=МВ

Доказательство:

1. ∠1=∠2 (условие)

∠5=∠2 (накрест лежащие при АВ║СD и секущей МС)

⇒∠1=∠5

2. Рассмотрим ΔМВС.

∠1=∠5 (п.1)⇒ ΔМВС - равнобедренный (углы при основании равны)

⇒ МВ=ВС

3. ∠3=∠4 (условие)

∠3=∠6 (накрест лежащие при АВ║СD и секущей МD)

⇒∠4=∠6

4.. Рассмотрим ΔАМD.

∠4=∠6 (п.3)⇒ ΔАМD - равнобедренный (углы при основании равны)

⇒ АМ=АD

5. МВ=ВС (п.2)

АМ=АD (п.4)

ВС=АD (свойство параллелограмма)

⇒АМ=МВ

Answer 2

Объяснение:

Дано: ABCD - параллелограмм, CM и DM - биссектрисы, M ∈ AB

Доказать: AM = MB

Решение: Так как по условию CM и DM - биссектрисы, то угол

∠ADM = ∠CDM, ∠BCM = ∠DCM. Через точку M проведем прямую, которая пересекает прямую CD в точке K и параллельна AD. Так как по определению параллелограмма AD║BC и по построению MK║AD, то MK║BC. Угол ∠ADM = ∠DMK как внутренние разносторонние углы при параллельных прямы (MK║AD) и секущей по теореме, следовательно так как угол ∠ADM = ∠DMK, то треугольник ΔMKD - равнобедренный по теореме и MK = KD. Угол ∠BCM = ∠CMK как внутренние разносторонние углы при параллельных прямы (MK║BC) и секущей по теореме, следовательно так как угол ∠BCM = ∠CMK, то треугольник ΔMKC - равнобедренный по теореме и MK = KC.

Так как MK = KC и MK = KD, то MK = KC = KD, тогда KC = KD и точка K - середина стороны DC. Так как MK параллельна сторонам параллелограмма и KC = KD, то MK - средняя линия параллелограмма, тогда AM = MB.

Answer 3

Для доказательства того, что точка M является серединой стороны AB параллелограмма ABCD, мы можем воспользоваться свойствами биссектрис углов.

Параллелограмм ABCD имеет следующий вид:

markdownCopy code
   A _______ B
    |       |
    |       |
    |_______|
   D         C

Давайте обозначим точки пересечения биссектрис с соответствующими сторонами параллелограмма следующим образом:

1. Пусть биссектриса угла C пересекает сторону AD в точке N.
2. Пусть биссектриса угла D пересекает сторону BC в точке L.

Мы хотим доказать, что точка M, где биссектрисы углов C и D пересекаются, является серединой стороны AB.

Для начала рассмотрим треугольник CDM. Поскольку биссектриса угла C пересекает сторону AD в точке N, она делит сторону AD на две равные части, и поэтому DN = NC. Также из определения биссектрисы угла D следует, что угол DCM равен углу MCD.

Теперь рассмотрим треугольник BCL. Аналогично, биссектриса угла D делит сторону BC на две равные части, и поэтому BL = LC. Из определения биссектрисы угла C следует, что угол CBL равен углу LCB.

Так как параллельные прямые AD и BC пересекаются биссектрисами углов C и D, то у нас есть две пары равных углов:

1. Угол DCM равен углу MCD.
2. Угол CBL равен углу LCB.

Теперь мы можем сформулировать следующий вывод:

В треугольниках DCM и CBL:

• DC = CB (параллелограмм ABCD имеет противоположные стороны равными)
• CM = CB (по построению биссектрисы)
• MC = CB (по свойству равенства сторон в треугольнике)
• BL = LC (по построению биссектрисы)
• Угол DCM равен углу CBL (как было доказано ранее)

Следовательно, по стороне и двум углам треугольники DCM и CBL равны, что означает, что эти треугольники равны по сторонам и углам (по стороне-угол-стороне).

Теперь мы знаем, что DM = CL и CM = CB. Поскольку DM + MC = CL + CB, то сумма отрезков DM и MC равна сумме отрезков CL и CB, что означает, что M находится посередине AB.

Таким образом, точка M действительно является серединой стороны AB параллелограмма ABCD. Доказательство завершено.