Question

Боковые рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равны 4, а стороны основания6. Точка K серединаребра АА1а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC иСКВ1б) Найдите угол между плоскостями ABC и CKB1.​

Answer 1

б)предполагаемый угол между плоскостями ВСВ1, для проверки необходимо доказать, сто ВС и СВ1-перпендикуляры к прямой СО-линии пересечения плоскостей

по т косинусов для ΔОСВ можно найти угол ОСВ

ОВ=2АВ =2*6=12 ( из подобия ΔОКА и ΔОВВ1 с к=2)

тогда т косинусов

ОС^2=OB^2+BC^2-2*OB*CB*cos60=12^2+6^2-2*12*6*0.5=108

OC=6√3

эту теорему для этого же треугольника для вычисления <OCB

OB^2=OC^2+CB^2-2*OC*CB*cos<OCB

12^2=108+36-2*6√3*6*cos<OCB

< ОСВ =90°

аналогично вычислю cos<OCB1 из ΔOCB1

OB1=2KB

KB^2=KA1^2+A1B1^2=2^2+6^2=40; KB=2√10

OB1=2KB1=4√ 10

СB1^2=CC1^2+C1B1^2=6^2+4^2=52; CB1=2√ 13

тогда по т косинусов для треугольника ОСВ1

OB1^2=OC^2+CB1^2-2*OC*CB1*cos<OCB1

(4√10)^2=108+52-2*6√3*2√13*cos<OCB1

cos< ОСВ1 =0; <OCB1-прямой

предполагаемое утверждение верно- значит угол между плоскостями определяется углом между сторонами сВ1 и СВ в прямоугольном ΔВВ1

значит cos x=CB/CB1=6/(2√13)=3/√13

Answer 2

Для построения прямой пересечения плоскостей ABC и СКВ1, мы сначала найдем уравнения этих плоскостей, а затем их пересечение.

a) Найдем уравнение плоскости ABC:

Плоскость ABC проходит через точки A, B и C. Векторы AB и AC можно найти, вычитая координаты точек:

AB = B - A = (0 - 6, 0 - 0, 0 - 0) = (-6, 0, 0) AC = C - A = (0 - 6, 0 - 0, 4 - 0) = (-6, 0, 4)

Теперь найдем нормаль к плоскости ABC, вычислив векторное произведение AB и AC:

N_ABC = AB x AC = i*(-64 - 00) - j*(-64 - 0(-6)) + k*(-60 - 0(-6)) = -24i + 24j

Теперь у нас есть нормаль к плоскости ABC: N_ABC = (-24, 24, 0).

Уравнение плоскости ABC можно записать в виде:

-24x + 24y + 0z + D = 0

Так как точка K(0, 0, 2) лежит в плоскости СКВ1 (она является серединой ребра АА1), мы можем использовать эту точку для нахождения D:

-240 + 240 + 0*2 + D = 0 D = 0

Итак, уравнение плоскости ABC: -24x + 24y = 0.

b) Теперь найдем угол между плоскостями ABC и CKB1. Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормалями. Мы уже нашли нормаль к плоскости ABC: N_ABC = (-24, 24, 0).

Теперь нам нужно найти нормаль к плоскости CKB1. Вектор CK можно найти, вычитая координаты точек C и K:

CK = K - C = (0 - 0, 0 - 0, 2 - 4) = (0, 0, -2)

Так как CKB1 - это плоскость, проходящая через точки C, K и B1, мы можем найти ее нормаль, вычислив векторное произведение CK и CB1:

N_CKB1 = CK x CB1 = i*(0*(-2) - 00) - j(0*(-2) - 00) + k(00 - 0(-2)) = 2k

Теперь у нас есть нормаль к плоскости CKB1: N_CKB1 = (0, 0, 2).

Теперь мы можем найти угол между этими нормалями, используя скалярное произведение:

cos(θ) = (N_ABC • N_CKB1) / (|N_ABC| * |N_CKB1|)

где • обозначает скалярное произведение, а |N_ABC| и |N_CKB1| - длины нормалей.

|N_ABC| = √((-24)^2 + (24)^2 + (0)^2) = √(576 + 576) = √1152 |N_CKB1| = √((0)^2 + (0)^2 + (2)^2) = √4 = 2

Теперь вычислим скалярное произведение:

N_ABC • N_CKB1 = (-24, 24, 0) • (0, 0, 2) = 0

Теперь мы можем найти косинус угла θ:

cos(θ) = 0 / (√1152 * 2) = 0

Теперь найдем угол θ:

θ = arccos(0) = 90 градусов.

Итак, угол между плоскостями ABC и CKB1 равен 90 градусов.