Question

2. В треугольнике ABC BC = a, AC = b, AB = с. Докажите, что если то угол A=2углаB​

Answer 1

Ответ:

Решение для остроугольного треугольника ( для тупоугольного треугольника  решение будет аналогичным )

Объяснение:

Answer 2

Ответ:

Применим теорему косинусов для двух углов:

$></p> <p>Из данной в условии формулы:</p> <p><img src=$

Подставим выражение $(*)$ в обе теоремы косинусов:

$\left \{ {{bc = c^2 - 2cos(A)bc} \atop {0=bc+c^2-2cos(B)ac}} \right. \\\left \{ {{b = c - 2cos(A)b} \atop {0=b+c-2cos(B)a}} \right.\\{cos(B) = \frac{b+c}{2a} } \\cos(A) = \frac{c-b}{2a} }$

Так как нам известно, каким именно образом должны относиться друг к другу углы (А в 2 раза больше),  применим формулу косинуса двойного угла для проверки.

$cos(2x) = 2cos^2(x)-1\\2(\frac{b+c}{2a} )^2-1=\\=\frac{(b+c)^2}{2a^2}-1=\\=\frac{b^2 + 2bc +c^2 -2a^2}{2a^2}$

Подставим выражение $(**)$

$\frac{c^2-b^2}{2bc+2b^2}=\\=\frac{ (c-b)(c+b) }{2b(c+b)}=\\=\frac{c-b}{2b}$

А это и есть полученый ранее косинус. Значит наше предположение было верно. чтд

Answer 3

Для доказательства того, что угол A равен удвоенному углу B в треугольнике ABC, можно воспользоваться законом синусов. Этот закон связывает длины сторон треугольника с синусами его углов. Закон синусов формулируется следующим образом:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}.$

В данном случае нас интересует отношение между углами A и B, поэтому мы можем записать:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}.$

Из этого уравнения можно выразить синус угла A:

$\sin A = \frac{a \cdot \sin B}{b}.$

Теперь мы хотим доказать, что $A = 2B$. Для этого мы будем использовать формулу для синуса удвоенного угла:

$\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta).$

Сравним эту формулу с нашим уравнением:

$\sin A = \frac{a \cdot \sin B}{b}.$

Сравним $\sin A$ с $\sin(2\theta)$ и $\sin B$ с $\sin(\theta)$. Это означает, что мы должны сопоставить:

$A$ с $2\theta$ и $B$ с $\theta$.

Сравнивая уравнения, мы видим, что $A = 2\theta$, а следовательно, $A = 2B$.

Таким образом, угол $A$ в треугольнике $ABC$ равен удвоенному углу $B$.