Question

В пирамиде количество всех диагоналей основания равно количеству всех рёберпирамиды. Найдите сумму всех граней ивершин данной пирамиды.A) 12 B) 16 C) 14 D) 8

Answer 1

У пирамиды число рёбер равно удвоенному числу сторон основания.

У квадрата всего две диагонали – по одной на каждые две вершины. У шестиугольника 9 диагоналей: по три диагонали на каждые три вершины.

У семиугольника 14 диагоналей по формуле:

d = (n(n - 3))/2 = (7*(7 - 3))/2 = 28/2 = 14.

Ответ: сумма всех граней и вершин данной пирамиды равна (7 +1)*2 = 16.

B) 16.

Answer 2

Давайте обозначим следующие величины:

• $n$ - количество вершин в основании пирамиды.
• $m$ - количество рёбер в основании пирамиды.

Известно, что количество диагоналей в основании пирамиды равно $\frac{n(n-3)}{2}$ (это можно вывести, применяя формулу сочетаний $C(n,2)$ и вычитая количество сторон).

Также известно, что количество рёбер пирамиды равно $m$, так как у пирамиды только одно основание.

У нас дано условие:

$\frac{n(n-3)}{2} = m$.

Сумма всех граней пирамиды равна сумме граней основания и боковых граней. Граней основания у нас $n$, а боковых граней $n$, так как у пирамиды $n$ боковых граней, каждая из которых соединяет вершину пирамиды с одной из вершин основания.

Теперь, используя информацию о диагоналях и рёбрах, мы можем выразить $n$ через $m$:

$\frac{n(n-3)}{2} = m$.

Разрешим это уравнение относительно $n$:

$n(n-3) = 2m$.

$n^2 - 3n - 2m = 0$.

Это квадратное уравнение. Используя квадратную формулу:

$n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8m}}{2}$.

Теперь мы можем подставить это значение $n$ в формулу для суммы граней:

Сумма всех граней = Грани основания + Боковые грани = $n + n = 2n$.

$2n = 2\left(\frac{3 \pm \sqrt{9 + 8m}}{2}\right)$.

$2n = 3 \pm \sqrt{9 + 8m}$.

Теперь мы можем рассмотреть варианты ответов:

A) 12: Не подходит. B) 16: Не подходит. C) 14: Не подходит. D) 8: Подходит.

Ответ: D) 8.