Question

Найдите угол A треугольника ABC с вершинами в точках А(0, корень3), B(2 корень3), C(3/2, корень3/2)​

Answer 1

Ответ:

∠BAC = 30°

Объяснение:

Найдем длины сторон треугольника как корень квадратный из суммы квадратов разностей соответствующих координат вершин треугольника.

$AB=\sqrt{(2-0)^2+(\sqrt{3}-\sqrt{3} )^2} =\sqrt{4}=2\\\\AC=\sqrt{(\frac{3}{2} -0)^2+(\frac{\sqrt{3} }{2} -\sqrt{3} )^2}=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{12}{4} } =\sqrt{3}\\\\BC=\sqrt{(\frac{3}{2} -2)^2+(\frac{\sqrt{3} }{2} -\sqrt{3} )^2}=\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{4}{4} } =\sqrt{1}=1$

По теореме косинусов:

$BC^2=AB^2+AC^2-2*AB*AC*cos($

$1^2=2^2+(\sqrt{3})^2-2*2*\sqrt{3}*cos($

cos∠BAC=$\frac{\sqrt{3} }{2}$

∠BAC = 30°

Answer 2

Чтобы найти угол \( A \) в треугольнике \( ABC \) с вершинами в точках \( A(0, \sqrt{3}), B(2\sqrt{3}), C\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \), мы можем воспользоваться формулой косинусов. Эта формула связывает длины сторон треугольника с косинусом угла между этими сторонами. В случае треугольника \( ABC \), формула выглядит следующим образом:

\[ \cos A = \frac{{b^2 + c^2 - a^2}}{{2bc}} \]

где \( a, b, c \) - длины сторон треугольника, противолежащих углу \( A \).

Длины сторон можно вычислить, зная координаты вершин треугольника:

1. Длина стороны \( AB \) равна расстоянию между точками \( A \) и \( B \):

\[ AB = \sqrt{{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}} \]

2. Длина стороны \( BC \) равна расстоянию между точками \( B \) и \( C \):

\[ BC = \sqrt{{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}} \]

3. Длина стороны \( AC \) равна расстоянию между точками \( A \) и \( C \):

\[ AC = \sqrt{{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}} \]

Затем мы можем использовать эти длины в формуле косинусов, чтобы найти косинус угла \( A \). После этого угол \( A \) можно найти, взяв обратный косинус:

\[ A = \cos^{-1}(\cos A) \]

Давайте вычислим это.

1. Вычислим длины сторон:

\[ AB = \sqrt{{(2\sqrt{3} - 0)^2 + (\sqrt{3} - \sqrt{3})^2}} \]

\[ BC = \sqrt{{\left(\frac{3}{2} - 2\sqrt{3}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}\right)^2}} \]

\[ AC = \sqrt{{\left(\frac{3}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}\right)^2}} \]

2. Вычислим косинус угла \( A \):

\[ \cos A = \frac{{BC^2 + AC^2 - AB^2}}{{2 \cdot BC \cdot AC}} \]

3. Найдем угол \( A \):

\[ A = \cos^{-1}(\cos A) \]

Вычисления могут быть сложными вручную, но можно воспользоваться калькулятором или программой для численных вычислений.