Question

В ортонормированном базисе заданы векторы а=(2; -3;1) b=(-1;2;0). Найти вектор с перпендикулярный векторам а и b, длина которого равна единице Помогите пожалуйста, я вообще не понимаю как это сделатьможете объяснить пожалуйстаочень прошу)​​​

Answer 1

В ортонормированном базисе заданы векторы а=(2; -3;1) b=(-1;2;0). Найти вектор с, перпендикулярный векторам а и b, длина которого равна единице.

Находим вектор d, перпендикулярный двум заданным с помощью векторного произведения.

I       j       k|        I       j

2     -3      1|      2      -3

-1      2        0|      -1        2 = 0i – 1j + 4k – 0j – 2i – 3k = -2i – 1j + 1k.

Вектор d = (-2; -1; 1), его модуль равен √((-2)² + (-1)² + 1²) = √6.

Вектор «с» с единичной длиной получим из вектора d, разделив его на его же модуль.

c = ((-2/√6); (-1/√6); (1/√6)).

Answer 2

Для нахождения вектора, перпендикулярного данным векторам \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), с длиной, равной единице, можно воспользоваться процессом ортогонализации Грама-Шмидта.

Данные векторы \( \mathbf{a} = (2, -3, 1) \) и \( \mathbf{b} = (-1, 2, 0) \) являются линейно независимыми. Начнем процесс ортогонализации Грама-Шмидта:

1. Нормализуем вектор \( \mathbf{a} \), чтобы получить первый ортонормированный вектор: \[ \mathbf{u}_1 = \frac{\mathbf{a}}{\|\mathbf{a}\|} = \frac{(2, -3, 1)}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2}} = \left(\frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{-3}{\sqrt{14}}, \frac{1}{\sqrt{14}}\right) \]

2. Найдем проекцию вектора \( \mathbf{b} \) на вектор \( \mathbf{u}_1 \) и вычтем ее из \( \mathbf{b} \), чтобы получить второй ортогональный вектор: \[ \mathbf{u}_2 = \mathbf{b} - (\mathbf{b} \cdot \mathbf{u}_1) \cdot \mathbf{u}_1 \] где \( \mathbf{b} \cdot \mathbf{u}_1 \) обозначает скалярное произведение векторов \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{u}_1 \).

Вычислим: \[ \mathbf{u}_2 = (-1, 2, 0) - \left((-1, 2, 0) \cdot \left(\frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{-3}{\sqrt{14}}, \frac{1}{\sqrt{14}}\right)\right) \cdot \left(\frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{-3}{\sqrt{14}}, \frac{1}{\sqrt{14}}\right) \]

3. Нормализуем вектор \( \mathbf{u}_2 \), чтобы получить ортонормированный вектор: \[ \mathbf{v} = \frac{\mathbf{u}_2}{\|\mathbf{u}_2\|} \]

Теперь мы получили ортонормированный базис, состоящий из векторов \( \mathbf{u}_1 \) и \( \mathbf{v} \). Вектор \( \mathbf{v} \) будет перпендикулярен исходным векторам \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), а его длина будет равна единице.