Question

СРОЧНО! Докажите, что 3(a^3+b^3+c^3)≥(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)

Answer 1

Решение смотри на фото

Answer 2

Для доказательства неравенства 3(a^3 + b^3 + c^3) ≥ (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) мы можем использовать метод математической индукции. Давайте рассмотрим каждый шаг доказательства подробно.

Базисный шаг:

Для начала, проверим неравенство при a = b = c. Подставим эти значения в оба выражения и сравним их:

Левая часть: 3(a^3 + b^3 + c^3) = 3(a^3 + a^3 + a^3) = 9a^3 Правая часть: (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) = (a + a + a)(a^2 + a^2 + a^2) = 9a^3

Таким образом, при a = b = c неравенство выполняется.

Индукционный шаг:

Предположим, что неравенство выполняется для некоторых положительных целых чисел a, b и c. Это означает, что мы можем записать:

3(a^3 + b^3 + c^3) ≥ (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) (Предположение индукции)

Теперь рассмотрим случай, когда увеличиваем одно из чисел a, b или c на 1. Без ограничения общности, предположим, что увеличиваем a на 1. Тогда новые значения чисел будут a+1, b и c.

Подставим новые значения в оба выражения и сравним их:

Левая часть: 3((a+1)^3 + b^3 + c^3) = 3(a^3 + 3a^2 + 3a + 1 + b^3 + c^3) = 3(a^3 + b^3 + c^3) + 9a^2 + 9a + 3 Правая часть: (a + 1 + b + c)((a+1)^2 + b^2 + c^2) = (a + b + c + 1)(a^2 + 2a + 1 + b^2 + c^2) = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) + (a^2 + b^2 + c^2) + (a + b + c)

Мы знаем, что неравенство выполняется для a, b и c. По предположению индукции, мы имеем:

3(a^3 + b^3 + c^3) ≥ (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2)

Таким образом, мы можем переписать правую часть неравенства следующим образом:

(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) + (a^2 + b^2 + c^2) + (a + b + c) ≥ (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) + 3

После сокращения, получим:

3(a^3 + b^3 + c^3) + 9a^2 + 9a + 3 ≥ 3(a^3 + b^3 + c^3) + 3

Теперь, вычитая 3(a^3 + b^3 + c^3) из обеих частей неравенства, получим:

9a^2 + 9a ≥ 3

Делая простое преобразование, получим:

3a^2 + 3a ≥ 1

Это неравенство выполняется для всех положительных целых чисел a. Таким образом, мы доказали, что если неравенство выполняется для некоторых положительных целых чисел a, b и c, то оно выполняется и для a+1, b и c.

Таким образом, по принципу математической индукции, мы можем сделать вывод, что неравенство 3(a^3 + b^3 + c^3) ≥ (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) выполняется для всех положительных целых чисел a, b и c.