Question

Розв’яжіть рівняння 4^х-2*2^х+1=5

Answer 1

Розв’яжіть рівняння 4^х-2*2^х+1=5+

Давайте розв'яжемо дане рівняння. Спочатку перепишемо його у більш зручному вигляді:

4^x - 2*2^x + 1 = 5

Згрупуємо доданки, якщо це можливо:

4^x - 2*2^x = 5 - 1 4^x - 2*2^x = 4

Тепер ми можемо скористатися певною підстановкою, щоб спростити вираз. Давайте зробимо заміну:

2^x = y

Тоді 4^x = (2^x)^2 = y^2.

Тепер наше рівняння має вигляд:

y^2 - 2y = 4

Воно може бути переписане так:

y^2 - 2y - 4 = 0

Це квадратне рівняння відносно y. Ми можемо застосувати квадратну формулу для знаходження його коренів:

y = (-(-2) ± √((-2)^2 - 4*1*(-4))) / (2*1) = (2 ± √(4 + 16)) / 2 = (2 ± √20) / 2 = (2 ± 2√5) / 2 = 1 ± √5

Таким чином, ми отримали два значення y: 1 + √5 та 1 - √5.

Тепер, згадаймо, що y = 2^x. З цього випливає, що:

2^x = 1 + √5 або 2^x = 1 - √5

Розв'яжемо обидва ці рівняння відносно x:

Для 2^x = 1 + √5: x = log2(1 + √5)

Для 2^x = 1 - √5: x = log2(1 - √5)

Отже, рівняння має два розв'язки: x = log2(1 + √5) та x = log2(1 - √5)