Question

Найти локальный экстремум функции: f (x,y) = ln x + 3 ln y - xy - 4y^2

Answer 1

$f(x,y)=\ln x + 3 \ln y - xy - 4y^2\\\frac{df}{dx} =(\ln x + 3 \ln y - xy - 4y^2)'_x=\frac{1}{x} -y\\\frac{df}{dy}=(\ln x + 3 \ln y - xy - 4y^2)'_y=\frac{3}{y} -x-8y\\\left \{ {{\frac{1}{x} -y=0} \atop {\frac{3}{y} -x-8y=0}} \right.\\y=\frac{1}{x}\\3x-x-\frac{8}{x} =0\\2x^2-8=0,\ x\neq 0\\x^2=4\\x_1=2;\ x_2=-2\\y_1=\frac{1}{2};\ y_2=-\frac{1}{2}$

Найдены критические точки: K1(2;1/2), K2(-2;-1/2)

Точка K2 не входит в область определения функции.

$\frac{d^2f}{dx^2} =(\frac{1}{x} -y)'_x=-\frac{1}{x^2} \\\frac{d^2f}{dy^2}=-\frac{3}{y^2} -8\\\frac{d^2f}{dxdy}=-1$

Для точки K1:

$\frac{d^2f}{dx^2} |_{(2;\frac{1}{2})} =-\frac{1}{2^2} =-\frac{1}{4}=A\\\frac{d^2f}{dy^2}|_{(2;\frac{1}{2})}=-\frac{3}{(\frac{1}{2})^2} -8=-20=C\\\frac{d^2f}{dxdy}|_{(2;\frac{1}{2})}=-1=B$

$AC-B^2>0$ и $A$ В точке K1 локальный максимум.

$></p><p></p> </div> <div class=$ 0 0

Answer 2

Для нахождения локальных экстремумов функции f(x, y) = ln(x) + 3ln(y) - xy - 4y^2, необходимо найти её частные производные по переменным x и y и приравнять их к нулю. Затем решить полученную систему уравнений для нахождения точек экстремума.

Давайте начнем с нахождения частных производных функции f(x, y):

Частная производная по x (f_x): f_x = (1/x) - y

Частная производная по y (f_y): f_y = (3/y) - x - 8y

Теперь мы можем приравнять оба уравнения к нулю и решить систему уравнений для нахождения точек экстремума.

f_x = 0: (1/x) - y = 0 1/x = y y = 1/x

f_y = 0: (3/y) - x - 8y = 0 3 - xy - 8y^2 = 0

Теперь мы можем подставить значение y = 1/x во второе уравнение:

3 - x(1/x) - 8(1/x)^2 = 0 3 - 1 - 8/x^2 = 0 -8/x^2 = -2 x^2 = 4 x = ±2

Когда x = 2, y = 1/2, и когда x = -2, y = -1/2.

Таким образом, мы получили две точки экстремума (2, 1/2) и (-2, -1/2). Чтобы определить, являются ли эти точки локальными максимумами или минимумами, мы можем использовать вторую производную тест.

Для этого вычислим вторые частные производные функции f(x, y):

Частная производная по x дважды (f_xx): f_xx = -1/x^2

Частная производная по y дважды (f_yy): f_yy = -3/y^2 - 16

Частная производная по x и по y (f_xy): f_xy = -1

Теперь мы можем использовать вторую производную тест для точек (2, 1/2) и (-2, -1/2).

Для точки (2, 1/2): D = f_xx * f_yy - (f_xy)^2 = (-1/(2^2)) * (-3/(1/2)^2 - 16) - (-1)^2 = -1/4 * (-3/1/4 - 16) - 1 = -1/4 * (-12 - 16) - 1 = -1/4 * (-28) - 1 = 7 - 1 = 6

D > 0, f_xx < 0, поэтому точка (2, 1/2) является локальным максимумом.

Аналогично, для точки (-2, -1/2): D = f_xx * f_yy - (f_xy)^2 = (-1/(-2)^2) * (-3/(-1/2)^2 - 16) - (-1)^2 = -1/4 * (-3/4 - 16) - 1 = -1/4 * (-3/4 - 16) - 1 = -1/4 * (-19) - 1 = 19/4 - 1 = 19/4 - 4/4 = 15/4

D > 0, f_xx < 0, поэтому точка (-2, -1/2) является локальным максимумом.

Таким образом, функция f(x, y) = ln(x) + 3ln(y) - xy - 4y^2 имеет два локальных максимума в точках (2, 1/2) и (-2, -1/2).