Question

Ответьте на вопросы: 1)Что значит решить систему? 2)С чего начинается решение системы? 3)Как решаются линейные неравенства? 4)Как решаем квадратные неравенства? 5)Что общего у квадратных уравнений и неравенств

Answer 1

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

систематизация знаний учащихся о решении квадратных уравнений и неравенств;

установление зависимости количества и расположения корней квадратного уравнения от его коэффициентов и значения дискриминанта;

способы решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами.

Глоссарий по теме:

Параметр - (от греч. parametron — отмеривающий) в математике, величина, числовые значения которой позволяют выделить определенный элемент из множества элементов того же рода.

Основная литература:

Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. - М.: Просвещение, 2017.

Ткачева М. В., Федорова Н. Е. Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты. 10 класс. Базовый и профильный уровни. 2016.

Шабунин М. И., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. Профильный уровень. 2016.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

В курсе средней школы будут рассматриваться показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенства. Чтобы облегчить дальнейшее изучение специальных уравнений, нужно уметь решать квадратные уравнения и неравенства, устанавливать и объяснять зависимость вида решения от его коэффициентов и дискриминанта, представлять геометрическую интерпретацию задач.

Квадратные уравнения.

На уроке будем рассматривать различные способы решения квадратных уравнений.

Как определить, сколько корней имеет уравнение, подскажет дискриминант.

Дискриминант – это число, которое находим по формуле

Если D <0 корней нет, если D = 0 один корень, если D> 0 два корня.

Если дискриминант D> 0 , корни можно найти по формуле:

Если D = 0 , то

Рассмотрите пример. Решить уравнение

Шаг 1. Выпишем коэффициенты a, b, c.

Шаг 2. Найдем дискриминант. D=16.

Шаг 3. Запишем формулу корней и подставим значения. Вычислим значения корней:

Заметим:

1.Перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду.

2. Избавьтесь от минуса перед . Для этого надо умножить всё уравнение на -1.

3. Если в уравнении есть дробные коэффициенты, умножьте уравнение на общий знаменатель.

4. Проверяйте корни по теореме Виета. Это просто, когда a=1.

Рассмотрите другие формулы:

, где второй коэффициент b=2k – четное число.

Приведенное квадратное уравнение , старший коэффициент равен a= 1, проще решать по теореме Виета.

Уравнение (х-3) (х+5) =0 является квадратным. Для его решения воспользуйтесь свойством: произведение равно 0, когда один из множителей равен 0.

Осталось вспомнить, как решаются неполные квадратные уравнения. Неполные — значит один или два коэффициента равны нулю.

Для решения систем уравнений применяются все методы решения: подстановки, сложения, графический.

Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1.

Если из одного из уравнений можно выразить х или у, применяем метод подстановки. Выразите х из первого уравнения и подставьте во второе. Решите и найдите корни.

Пример 2.

Применяем метод сложения. Выполнив сложение, получаем уравнение , далее x= ±5. Находим у= ±2. Составляем возможные пары чисел.

Записываем ответ: (5; 2), (5; -2), (-5; 2), (- 5; -2).

Пример 3. Иногда проще ввести новые переменные.

Пусть xy=u, x+y=v. Тогда систему можно записать в более простом виде:

Решение смотри в примере 1.

Answer 2

1) Что значит решить систему?

Решение системы означает найти значения переменных, которые удовлетворяют всем уравнениям или неравенствам в системе. В случае линейных уравнений или неравенств, решение системы представляет собой набор значений переменных, при которых все уравнения или неравенства выполняются одновременно.

2) С чего начинается решение системы?

Решение системы обычно начинается с анализа уравнений или неравенств в системе и определения типа системы. В зависимости от типа системы (линейная, квадратная, тригонометрическая и т. д.), могут применяться различные методы решения. Например, для линейных систем можно использовать методы подстановки, метод Гаусса-Жордана или матричные методы.

3) Как решаются линейные неравенства?

Для решения линейных неравенств используются те же методы, что и для решения линейных уравнений. Однако, при решении неравенств необходимо учитывать направление неравенства при получении ответа. Вот некоторые общие шаги для решения линейных неравенств:

1. Перенести все члены неравенства на одну сторону, чтобы получить неравенство вида "выражение < 0" или "выражение > 0". 2. Решить полученное уравнение, чтобы найти значения переменных, при которых выражение меньше или больше нуля. 3. Построить числовую прямую и отметить на ней найденные значения переменных. 4. Определить интервалы, на которых выражение меньше или больше нуля, и записать ответ в виде объединения этих интервалов.

4) Как решаем квадратные неравенства?

Для решения квадратных неравенств используются различные методы, в зависимости от формы неравенства. Вот некоторые общие шаги для решения квадратных неравенств:

1. Привести неравенство к стандартному виду, где все члены находятся на одной стороне и неравенство направлено в одну сторону. 2. Решить соответствующее квадратное уравнение, чтобы найти значения переменных, при которых неравенство равно нулю. 3. Построить числовую прямую и отметить на ней найденные значения переменных. 4. Определить интервалы, на которых неравенство меньше или больше нуля, и записать ответ в виде объединения этих интервалов.

5) Что общего у квадратных уравнений и неравенств?

Квадратные уравнения и неравенства имеют общую особенность - они содержат квадратные выражения, включающие переменные во второй степени. Общий вид квадратного уравнения выглядит так: ax^2 + bx + c = 0, где a, b и c - коэффициенты, а x - переменная.

Квадратные неравенства имеют похожую форму, но вместо равенства используется неравенство. Например: ax^2 + bx + c > 0 или ax^2 + bx + c < 0.

Как и у квадратных уравнений, решение квадратных неравенств включает нахождение значений переменных, при которых неравенство выполняется или не выполняется. Ответом на квадратное неравенство может быть интервал значений переменных, при которых неравенство истинно или ложно.