Question

Задача 1. Плоскость разделена на части прямыми. Докажите, что эти части можно раскрасить в два цвета так, что соседние куски будут раскрашены в разные цвета. ​

Answer 1

Ответ:

Рассмотрим в этой плоскости вершины равностороннего треугольника со стороной 1 метр. Поскольку цветов всего 2, то по принципу Дирихле хотя бы две из трёх вершин обязаны быть одного цвета.

Answer 2

Задача 1: Плоскость разделена на части прямыми. Докажите, что эти части можно раскрасить в два цвета так, что соседние куски будут раскрашены в разные цвета.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Базовый шаг: Рассмотрим случай, когда плоскость разделена на две части прямой. В этом случае мы можем просто раскрасить одну часть в один цвет, а другую часть в другой цвет, и соседние куски будут раскрашены в разные цвета.

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для плоскости, разделенной на n частей прямыми. Теперь рассмотрим плоскость, разделенную на n+1 частей прямыми.

Мы можем выбрать одну из прямых, разделяющих плоскость на n+1 частей, и раскрасить все части, лежащие по одну сторону от этой прямой, в один цвет, а все части, лежащие по другую сторону, в другой цвет. Таким образом, мы получим раскраску плоскости на n+1 частей, где соседние куски будут раскрашены в разные цвета.

Таким образом, по принципу математической индукции, мы доказали, что плоскость, разделенная на части прямыми, можно раскрасить в два цвета так, что соседние куски будут раскрашены в разные цвета.