Question

Каждую грань правильной пирамиды SA1A2...A8 с основанием A1A2...A8 разрешается раскрасить в один из 10 цветов. Сколькими способами можно раскрасить пирамиду при условии, что все грани будут разного цвета? Раскраски считаются различными, если не получаются друг из друга вращением пирамиды.

Answer 1

Ответ: 453600

Объяснение:

1. Раскрасим основание A1A2...A8 в один из 10 цветов. Такую раскраску можно осуществить 10 способами.

2. Раскрасим теперь по очереди боковые грани пирамиды. Для первой грани SA1A2 имеется 10−1=9 вариантов раскраски, для второй грани SA2A3 имеется 10−2=8 вариантов раскраски, и так далее, для 8-й по порядку грани имеется 10−8=2 вариант(-ов, -a) раскраски. Таким образом, всего получаем

M=10(10−1)(10−2)...(10−8)

вариантов раскраски пирамиды.

3. По условию задачи две раскраски считаются одинаковыми, если получаются друг из друга движением. В нашем случае, у пирамиды существует ровно 8 движений (8 поворотов). Потому искомое число раскрасок будет в 8 раз меньше величины M.

Получаем ответ:

10(10−1)(10−2)...(10−8)8=453600.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать принцип умножения. Сначала рассмотрим, сколько способов есть для раскраски основания пирамиды A1A2...A8.

У нас есть 10 различных цветов, и мы должны выбрать 8 из них для раскраски вершин основания. Это можно сделать с помощью сочетаний без повторений. Количество способов выбрать 8 цветов из 10 равно C(10, 8).

Теперь, когда основание раскрашено, мы можем приступить к раскраске боковых граней. У нас есть 8 боковых граней, и каждая из них должна быть разного цвета. Поскольку у нас осталось 2 цвета (из 10), которые мы можем использовать, для первой боковой грани есть 2 способа выбора цвета, для второй боковой грани также 2 способа, и так далее.

Используя принцип умножения, мы умножаем количество способов для основания на количество способов для боковых граней:

C(10, 8) * 2^8 = 45 * 256 = 11,520.

Таким образом, существует 11,520 способов раскрасить данную правильную пирамиду так, чтобы все грани были разных цветов.