Question

Каждую грань правильной пирамиды SA1A2...A8 с основанием A1A2...A8 разрешается раскрасить в один из 12 цветов. Сколькими способами можно раскрасить пирамиду при условии, что все грани будут разного цвета? Раскраски считаются различными, если не получаются друг из друга вращением пирамиды.

Answer 1

Ответ:

6

Объяснение:

Так надо вообщем-то

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать теорию групп и принцип включения и исключения.

В этой задаче есть 12 различных цветов, и мы должны раскрасить грани правильной пирамиды с 8 гранями так, чтобы все грани были разного цвета.

Сначала рассмотрим, сколько всего способов раскрасить пирамиду без ограничений. Первая грань (основание) может быть раскрашена в один из 12 цветов, вторая - в один из оставшихся 11 цветов, третья - в один из оставшихся 10 цветов, и так далее. Поэтому общее число способов раскрасить пирамиду без ограничений равно:

12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 = 12!

Однако из этого числа нам нужно вычесть способы, в которых какие-то грани имеют один и тот же цвет. Мы можем использовать принцип включения и исключения для этого.

1. Посчитаем количество способов, в которых хотя бы две грани имеют один и тот же цвет. Есть 12 способов выбрать этот общий цвет, а затем 11 способов выбрать цвет для оставшихся граней. Таким образом, всего способов с хотя бы одной парой граней одного цвета:

12 * 11 * 11!

2. Теперь рассмотрим способы, в которых две пары граней имеют один и тот же цвет. Есть 12 способов выбрать цвет для первой пары, 11 способов выбрать цвет для второй пары, и 10 способов выбрать цвет для оставшихся граней. Таким образом, всего способов с двумя парами граней одного цвета:

12 * 11 * 10 * (10!)

3. Продолжаем этот процесс для трех пар граней и четырех пар граней:

Способы с тремя парами граней одного цвета: 12 * 11 * 10 * 9 * (9!) Способы с четырьмя парами граней одного цвета: 12 * 11 * 10 * 9 * 8 * (8!)

Теперь мы можем применить принцип включения и исключения:

Общее число раскрасок - (способы с хотя бы одной парой граней одного цвета - способы с двумя парами - способы с тремя парами + способы с четырьмя парами) =

12! - (12 * 11 * 11! - 12 * 11 * 10 * (10!) + 12 * 11 * 10 * 9 * (9!) - 12 * 11 * 10 * 9 * 8 * (8!))

Это даст нам количество способов раскрасить пирамиду так, чтобы все грани были разного цвета.