Question

Знайти проміжки зростання і спадання функції f(x) = 3x^4​

Answer 1

Найти промежутки возрастания и убывания функции f(x) = 3x^4​.

Ответ:

Функция убывает на промежутке (-∞;0); возрастает - (0;+∞).

Объяснение:

Найдём производную функции:

$\Large \boldsymbol {} f(x) = 3x^4\\\\f'(x)=3*4x^{4-1}=12x^{3}$

Находим критические точки:

$\Large \boldsymbol {} x \in(-\infty;+\infty)\\\\12x^3=0\\\\x=0$

Мы имеем одну критическую точку. Разбиваем этим числом координатную прямую на промежутки.

$\Large \boldsymbol {} -----\boxed{0}+++++$

Функция возрастает на промежутках, где её производная больше нуля, убывает - меньше нуля. Поэтому:

Функция убывает на промежутке (-∞;0).

Функция возрастает на промежутке (0;+∞).

х=0 - точка перегиба. Поскольку функция при переходе через неё меняет знак с - на +, это точка минимума функции.

Answer 2

Щоб знайти проміжки зростання та спадання функції f(x) = 3x^4, спершу треба взяти похідну функції та дослідити її знаки на різних інтервалах.

Знаходження похідної функції f(x)

Для знаходження похідної функції f(x) = 3x^4, треба застосувати правило диференціювання степеневої функції. Згідно з цим правилом, похідна функції f(x) = ax^n, де a та n - константи, дорівнює добутку a на n, помноженому на x піднесене до степеня (n-1).

У нашому випадку, a = 3 та n = 4, тому застосовуючи правило диференціювання степеневої функції, отримуємо: f'(x) = 4 * 3x^(4-1) = 12x^3.

Знаходження знаків похідної функції

Тепер треба дослідити знаки похідної функції f'(x) = 12x^3, щоб визначити проміжки зростання та спадання функції f(x) = 3x^4.

1. Розглянемо випадок, коли f'(x) > 0: Знак "+" означає, що похідна функції додатна на цьому проміжку. Щоб знайти проміжки, де f'(x) > 0, розв'яжемо нерівність: 12x^3 > 0. Знаходження коренів нерівності: x^3 > 0. x > 0. Таким чином, ми отримали, що f'(x) > 0 на проміжку (0, +∞). Це означає, що функція f(x) = 3x^4 зростає на цьому проміжку.

2. Розглянемо випадок, коли f'(x) < 0: Знак "-" означає, що похідна функції від'ємна на цьому проміжку. Щоб знайти проміжки, де f'(x) < 0, розв'яжемо нерівність: 12x^3 < 0. Знаходження коренів нерівності: x^3 < 0. x < 0. Таким чином, ми отримали, що f'(x) < 0 на проміжку (-∞, 0). Це означає, що функція f(x) = 3x^4 спадає на цьому проміжку.

Висновок

Отже, функція f(x) = 3x^4 зростає на проміжку (0, +∞) та спадає на проміжку (-∞, 0).