Question

Побудуйте графік функції y=(x+2)² 1. Користуючись графіком знайдіть: 1) проміжки зростання функції; 2) проміжки спадання функції; 3) проміжки, на яких функція набуває від'ємних значень 4) проміжки, на яких функція набуває невід'ємних значень.

Answer 1

Щоб побудувати графік функції \( y = (x+2)^2 + 1 \), давайте розглянемо кілька кроків:

1. Знаходження вершини параболи: Функція має квадратичний вигляд, \( y = a(x-h)^2 + k \), де \( (h, k) \) - координати вершини параболи. У нашому випадку \( h = -2 \) і \( k = 1 \), отже, вершина розташована в точці \( (-2, 1) \).

2. Знаходження напряму відкриття параболи: Коефіцієнт \( a \) визначає напрям відкриття параболи. Оскільки \( a \) дорівнює 1, парабола відкривається вгору.

3. Знаходження точок перетину з осями координат: Для знаходження точок перетину з осі \( x \) підставимо \( y = 0 \) і розв'яжемо рівняння для \( x \).

\[ 0 = (x+2)^2 + 1 \]

\[ (x+2)^2 = -1 \]

Це рівняння не має розв'язків в області дійсних чисел. Таким чином, графік не перетинає ось \( x \).

Для знаходження точок перетину з осі \( y \) підставимо \( x = 0 \).

\[ y = (0+2)^2 + 1 = 5 \]

Точка перетину з осі \( y \) - це \( (0, 5) \).

4. Побудова графіка: Використаємо отриману інформацію для побудови графіка. Вершина параболи - \( (-2, 1) \), і парабола відкривається вгору. Також ми знаємо, що графік не перетинає ось \( x \), і точка перетину з осі \( y \) - \( (0, 5) \).


5. Аналіз проміжків зростання і спадання, від'ємних і невід'ємних значень: - Проміжки зростання: Функція зростає на всьому проміжку від \( -\infty \) до \( +\infty \), оскільки графік параболи відкритий вгору.

- Проміжки спадання: Немає проміжків спадання, оскільки функція завжди зростає.

- Від'ємні значення: Функція набуває від'ємних значень, коли \( y < 0 \). З графіка видно, що це стається на проміжку \( (-\infty, -2) \).

- Невід'ємні значення: Функція набуває невід'ємних значень, коли \( y \geq 0 \). З графіка видно, що це стається на проміжку \( [-2, +\infty) \).

Таким чином, відповіді на ваші питання: 1. Проміжок зростання функції: \( (-\infty, +\infty) \). 2. Проміжок спадання функції: Немає. 3. Проміжок, на якому функція набуває від'ємних значень: \( (-\infty, -2) \). 4. Проміжок, на якому функція набуває невід'ємних значень: \( [-2, +\infty) \).