Question

Знайти проміжки зростання функції y = 2x3 – 3x2 – 12x +1. (Підказка: якщо функція неперервна і визначена на кінцях проміжку зростання - спадання (а; в), то ці точки включаються в проміжок зростання - спадання.) Виберіть одну відповідь: [2; ∞) жоден з проміжків не є відповіддю (–∞;–1] обидва проміжки

Answer 1

Щоб знайти проміжки зростання функції \(y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1\), треба визначити, де похідна цієї функції дорівнює нулю і визначити знак похідної між цими нулями.

1. Знайдемо похідну: \[y' = 6x^2 - 6x - 12.\]

2. Розв'яжемо рівняння \(y' = 0\) для знаходження критичних точок: \[6x^2 - 6x - 12 = 0.\]

Розкладаємо квадратне рівняння: \[2(x - 2)(3x + 1) = 0.\]

Отримуємо дві критичні точки: \(x = 2\) та \(x = -1/3\).

3. Тепер визначимо знак похідної між цими критичними точками та за їхніми межами.

- Для \(x < -1/3\), обираємо \(x = -2\) (тестова точка), підставимо в похідну: \[y'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 > 0.\] Знак плюс, отже, функція зростає на \((-\infty; -1/3)\).

- Для \(-1/3 < x < 2\), обираємо \(x = 0\) (тестова точка), підставимо в похідну: \[y'(0) = 6(0)^2 - 6(0) - 12 = -12 < 0.\] Знак мінус, отже, функція спадає на \((-1/3; 2)\).

- Для \(x > 2\), обираємо \(x = 3\) (тестова точка), підставимо в похідну: \[y'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 24 > 0.\] Знак плюс, отже, функція зростає на \((2; \infty)\).

Отже, проміжки зростання функції \(y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1\) це \((- \infty; -1/3) \cup (2; \infty)\).