Question

Знайдіть площу фігури ,обмеженої лініями y=x² i y=3+2x

Answer 1

Ответ:

9 1/3

Объяснение:

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої кривими \(y = x^2 + i\) та \(y = 3 + 2x\), потрібно взяти інтеграл від різниці цих функцій за обмеженнями.

Спочатку визначимо точки перетину цих двох кривих, які визначають межі інтегрування.

Встановимо \(y = x^2 + i\) рівною \(y = 3 + 2x\) і розв'яжемо рівняння:

\[x^2 + i = 3 + 2x\]

\[x^2 - 2x + i - 3 = 0\]

За допомогою квадратного рівняння ми можемо знайти значення \(x\). Корені цього рівняння будуть координатами точок перетину. Враховуючи \(i\) як уявну одиницю, ми можемо знайти розв'язки.

\[D = b^2 - 4ac\]

\[D = 4 - 4(i - 3)\]

\[D = -12 + 4i\]

\[x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12 + 4i}}{2}\]

Знайдемо корені цього рівняння:

\[x_{1,2} = 1 \pm i\]

Тепер ми можемо записати інтеграл для знаходження площі:

\[S = \int_{x_1}^{x_2} (f(x) - g(x)) \,dx\]

де \(f(x)\) та \(g(x)\) - це функції \(y = x^2 + i\) та \(y = 3 + 2x\) відповідно, а \(x_1\) та \(x_2\) - це координати точок перетину, які ми знайшли раніше.

\[S = \int_{1-i}^{1+i} ((x^2 + i) - (3 + 2x)) \,dx\]

Зараз ми можемо обчислити цей інтеграл. Зауважте, що у нас є уявна одиниця \(i\), тому площа такої фігури буде комплексним числом.

\[S = \int_{1-i}^{1+i} (x^2 - 2x + i - 3) \,dx\]

\[S = \left[\frac{x^3}{3} - x^2 + ix - 3x\right]_{1-i}^{1+i}\]

Тепер підставимо верхню межу і віднімемо значення при нижній межі:

\[S = \left(\frac{(1+i)^3}{3} - (1+i)^2 + i(1+i) - 3(1+i)\right) - \left(\frac{(1-i)^3}{3} - (1-i)^2 + i(1-i) - 3(1-i)\right)\]

Обчислимо це, щоб отримати площу фігури. Зверніть увагу, що в результаті може отриматися комплексне число через участь уявної одиниці \(i\).