Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y=x^2+4x+4 и прямой y=x+4

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой \(y = x^2 + 4x + 4\) и прямой \(y = x + 4\), нужно определить точки их пересечения и затем вычислить определенный интеграл от разности этих двух функций по переменной \(x\).

1. Находим точки пересечения: Поставим уравнения параболы и прямой равными друг другу: \[ x^2 + 4x + 4 = x + 4 \] Переносим все члены в одну сторону и получаем квадратное уравнение: \[ x^2 + 3x = 0 \] Решим это уравнение: \[ x(x + 3) = 0 \] Таким образом, \(x = 0\) или \(x = -3\).

Теперь подставим найденные значения \(x\) в любое из уравнений (допустим, в уравнение прямой \(y = x + 4\)), чтобы найти соответствующие значения \(y\): - При \(x = 0\), \(y = 0 + 4 = 4\). - При \(x = -3\), \(y = -3 + 4 = 1\).

Итак, точки пересечения: \((0, 4)\) и \((-3, 1)\).

2. Определение площади: Площадь между двумя кривыми по оси \(x\) можно выразить как разность интегралов их функций: \[ \text{Площадь} = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \,dx \] где \(f(x)\) - верхняя функция (в данном случае, парабола), \(g(x)\) - нижняя функция (прямая), а \(a\) и \(b\) - точки пересечения.

В данном случае: \[ \text{Площадь} = \int_{-3}^{0} ((x^2 + 4x + 4) - (x + 4)) \,dx \]

Проведем вычисления: \[ \text{Площадь} = \int_{-3}^{0} (x^2 + 3x - 4) \,dx \] Интегрируем по отдельным членам: \[ \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - 4x \Big|_{-3}^{0} \] Подставляем верхний и нижний пределы: \[ \left(0 + 0 + 0\right) - \left(\frac{(-3)^3}{3} + \frac{3(-3)^2}{2} - 4(-3)\right) \] Вычисляем значения: \[ -\frac{27}{3} - \frac{27}{2} + 12 = -9 - \frac{27}{2} + 12 = -\frac{54}{2} = -27 \]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной параболой \(y = x^2 + 4x + 4\) и прямой \(y = x + 4\), равна 27 квадратным единицам.