Question

18. Відомо, що x1 i x2 коренi рiвняння х² - 3x - 5 = 0 . Не розв'язу- ючи цього рівняння, знайдіть значення виразу x2/x1+x1/x/2

Answer 1

$\displaystyle\bf\\x^{2} -3x-5=0\\\\Teorema \ Vieta:\\\\x_{1} + x_{2} =3\\\\x_{1} \cdot x_{2} =-5\\\\\\\frac{x_{2} }{x_{1} } +\frac{x_{1} }{x_{2} } =\frac{x_{1} ^{2} +x_{2} ^{2} }{x_{1} \cdot x_{2} } =\frac{(x_{1} +x_{2} )^{2}-2\cdot x_{1} x_{2} }{x_{1} \cdot x_{2} } =\frac{3^{2} -2\cdot(-5)}{-5}=\\\\\\=\frac{3+10}{-5} =-\frac{13}{5} =-2,6$

Answer 2

Здається, у вашому питанні трапилася деяка помилка. Напевно, ви маєте на увазі рівняння \(x^2 - 3x - 5 = 0\). Давайте знайдемо корені цього рівняння та визначимо значення виразу \(\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}\).

Спочатку знайдемо корені рівняння \(x^2 - 3x - 5 = 0\). Для цього можна використовувати квадратне рівняння:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

У рівнянні \(x^2 - 3x - 5 = 0\), a = 1, b = -3, і c = -5. Підставимо ці значення у формулу:

\[x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-5)}}{2 \cdot 1}\]

\[x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2}\]

\[x = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}\]

Отже, корені рівняння - це:

\[x_1 = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}\]

\[x_2 = \frac{3 - \sqrt{29}}{2}\]

Тепер, знаючи значення коренів, ми можемо підставити їх у вираз \(\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}\):

\[\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{\frac{3 - \sqrt{29}}{2}}{\frac{3 + \sqrt{29}}{2}} + \frac{\frac{3 + \sqrt{29}}{2}}{\frac{3 - \sqrt{29}}{2}}\]

Помножимо обидві частини на відповідні кон'юговані значення, щоб усунути дроби у знаменниках:

\[\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{(3 - \sqrt{29})(3 - \sqrt{29})}{(3 + \sqrt{29})(3 - \sqrt{29})} + \frac{(3 + \sqrt{29})(3 + \sqrt{29})}{(3 - \sqrt{29})(3 + \sqrt{29})}\]

Спростимо чисельник та знаменник у кожному доданку:

\[= \frac{9 - 6\sqrt{29} + 29}{9 - 29} + \frac{9 + 6\sqrt{29} + 29}{9 - 29}\]

\[= \frac{38 - 6\sqrt{29}}{-20} + \frac{38 + 6\sqrt{29}}{-20}\]

\[= \frac{38 - 6\sqrt{29} + 38 + 6\sqrt{29}}{-20}\]

\[= \frac{76}{-20}\]

\[= -\frac{19}{5}\]

Отже, значення виразу \(\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}\) у даному випадку дорівнює \(-\frac{19}{5}\).