Question

Не виконуючи побудови, з'ясуйте, чи перетинаються парабола у=-2x2-2x+4 і пряма 5х+у-9=0

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

В общем виде, пусть у нас есть две функции (любые), обозначим их $f(x)$ и $g(x)$. Если они пересекаются, то на декартовой плоскости X, Y существует точка, в которой и у одной, и у другой функции совпадают координаты x и y. Координата Y первой функции y = f(x), координата Y второй функции y = g(x).

Т.е. общая точка имеет вид (x, f(x)) = (x, g(x)).

Другими словами, мы прихдим к решению уравнения f(x) = g(x).

Парабола выражена явно: "игрек равно чему-то там"
Прямая же задана в неявном виде. Для начала, нам необходимо выразить "игрек" из уравнения прямой.

$5x + y - 9 = 0\\5x + y =9\\y = -5x + 9$

Отлично, теперь прировняем наши f(x) и g(x).

Для конкретно этой задачи это выглядит так:

$-2x^2 -2x +4 = -5x + 9$

Т.е. мы приравняли правые части двух функций.

Теперь надо решить это уравнение, чтобы найти X координату точки пересечения. В случае, если корней у уравнения не существует, то и X координаты точки пересечения не существует. Вывод такой - графики не пересекаются. Приступим к решению.

$-2x^2 -2x + 4 + 5x -9 =0\\-2x^2 +3x -5 = 0\\2x^2 -3x +5 =0\\D = b^2-4ac = 9 - 40 < 0$

Дискриминант этого уравнения отрицателен, а значит, корней оно не имеет, соответствена графики этих двух функций не имеют точек пересечения.

Answer 2

Щоб визначити, чи перетинаються парабола та пряма, потрібно вирішити систему рівнянь, що складається з рівнянь параболи та прямої.

Парабола задана рівнянням: \[ y = -2x^2 - 2x + 4 \]

Пряма задана рівнянням: \[ 5x - 9 = 0 \]

Щоб з'ясувати точки перетину, підставимо значення \(y\) з рівняння параболи у рівняння прямої: \[ -2x^2 - 2x + 4 = 5x - 9 \]

Тепер зведемо це рівняння до канонічної форми і розв'яжемо: \[ -2x^2 - 2x + 4 - 5x + 9 = 0 \] \[ -2x^2 - 7x + 13 = 0 \]

Використаємо квадратне рівняння для знаходження коренів: \[ D = b^2 - 4ac \] \[ D = (-7)^2 - 4(-2)(13) \] \[ D = 49 + 104 \] \[ D = 153 \]

Оскільки \(D > 0\), у нас є два різних корені. Вони обчислюються за формулою: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{153}}{-4} \]

Отже, точки перетину параболи і прямої мають координати \(x_{1}\) та \(x_{2}\), де \(x_{1} = \frac{7 + \sqrt{153}}{-4}\) і \(x_{2} = \frac{7 - \sqrt{153}}{-4}\).

Тепер, якщо вставити ці значення \(x\) назад у рівняння прямої, можна знайти відповідні значення \(y\). Таким чином, можна знайти точки перетину параболи і прямої.

Зауважте, що я використав англійські літери для позначення коефіцієнтів \(a\), \(b\), та \(c\) у квадратному рівнянні для зручності. У вашому випадку \(a = -2\), \(b = -7\), \(c = 13\).